Somme de Gauss

Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs.

Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Modèle:Refnec On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Définition

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, F_p le corps fini ℤ/pℤ et F_p* le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls.

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χModèle:-1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à F_p par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χModèle:-1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à F_p*.

Propriétés

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples.

• Si m est un entier premier à p, alors<math>G(\chi,\psi^m)=\frac1{\chi(m)}G(\chi,\psi).</math>En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :<math>G(\chi,\psi^m)=\sum_{k\in\mathbb F_p^*}\chi(k)\psi(mk).</math>Par le changement de variable u = mk, on a donc bien :<math>G(\chi,\psi^m)=\sum_{u\in\mathbb F_p^*}\chi(m)^{-1}\chi(u)\psi(u)=\frac1{\chi(m)}G(\chi,\psi).</math>
• Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux, alors<math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\chi(-1)p.</math>En effet, la définition d'une somme de Gauss implique :<math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\sum_{k,l\in\mathbb F_p^*}\chi (k)\psi(k)\chi(l)^{-1}\psi(l)=\sum_{k,l\in\mathbb F_p^*}\chi(kl^{-1}) \psi(k+l).</math>Par le changement de variable u = klModèle:-1, on obtient :<math>G(\chi,\psi)G(\chi^{-1},\psi)=\sum_{u\in F_p^*} \chi (u)\left(-1+\sum_{l\in \mathbb F_p}\psi((u+1)l)\right).</math>Or la somme des valeurs du caractère additif l ↦ ψ((u + 1)l) est nulle sauf lorsque ce caractère est trivial, c'est-à-dire lorsque u = –1. On en déduit :<math>G(\chi, \psi)G(\chi^{-1},\psi)=\left(-\sum_{u\in\mathbb F_p^*}\chi (u)\right)+\chi(-1)p.</math>De même, la somme des valeurs du caractère multiplicatif non trivial Modèle:Math est nulle, ce qui termine la démonstration.

Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant :

Applications

Loi de réciprocité quadratique

Modèle:Article détaillé La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair, distinct de p :

<math>\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}.</math>

Somme quadratique de Gauss

Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 :

<math>\sum_{k=0}^{n-1}\exp\left(\frac{2\pi{\rm i}k^2}n\right)=\begin{cases}(1+{\rm i})\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv0\mod 4\\\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv1\mod 4\\0&{\rm si}\ n\equiv2\mod 4\\{\rm i}\sqrt n&{\rm si}\ n\equiv3\mod 4,\end{cases}</math>

conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = Modèle:Math, et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Henry John Stephen Smith, « Report on the theory of numbers, Part I », 1859, réimpr. en 1984 dans The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Art. 20.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Demazure1
• Modèle:Serre1
• André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette, 1971
• Gabriel Peyré, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier, Éditions Ellipses, 2004 Modèle:ISBN

Articles connexes

• Somme d'Eisenstein
• Somme exponentielle
• Théorème de Stickelberger

Liens externes

• Lemme sur la somme de Gauss par C. Banderier de l'université Paris-XIII, 1998
• Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs par A. Bechata
• Modèle:Ouvrage