Suite spectrale

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En algèbre homologique et en topologie algébrique, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (E_n,d_n) tels que

E_n+1 = H(E_n) = Ker d_n / Im d_n

est l'homologie de E_n. Elles permettent donc de calculer des groupes d'homologie par approximations successives. Elles ont été introduites par Jean Leray en 1946<ref>Modèle:Article</ref>.

Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie. Par exemple, la Modèle:Lien permet d'obtenir des informations sur les groupes d'homotopie des sphères.

Explication générale

Fichier:Spectral sequence.png

Pour chaque nouvelle feuille, on effectue un calcul sur la précédente.

Une manière de visualiser ce qui se produit dans une suite spectrale est l'utilisation de la métaphore du bloc-noteModèle:Référence nécessaire. E₁ étant la première feuille de données, la feuille E₂ en dérive par un processus défini ; et ainsi de suite pour les feuilles E₃, E₄... Le résultat final du calcul serait la dernière feuille du bloc-notes.

En pratique E_i contient certaines données de gradation, souvent même deux. Chaque feuille est ensuite transformée en tableau, agencé en lignes et colonne, avec un groupe abélien dans chaque cellule. Chaque feuille possède aussi des « différentielles », qui agissent depuis chaque cellule de la feuille sur une autre cellule. Le processus défini est alors un moyen de calculer l'état de chaque cellule sur la feuille suivante à partir de la feuille courante, en suivant les différentielles.

Pour être rigoureux, l'élément E_n devrait indiquer deux indices :

E_n^p,q

avec les différentielles d_n^p,q agissant depuis E_n^p,q sur un E_n^p+a,q+b, avec a et b ne dépendant que de n.

Filtrations

Des suites spectrales apparaissent souvent lors des calculs de filtration d'un module E₀. Une filtration

<math>A_{-2} = A_{-1} = A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \ldots </math>

d'un module induit une suite exacte courte

<math>0 \to A \hookrightarrow A \to B \to 0,</math>

avec B, le quotient j de A par son image sous l'inclusion i, et dont la différentielle est induite par celle de A. Soit A₁ = H(A) et B₁ = H(B) ; une suite exacte longue,

<math>\ldots \to A_1 \to A_1 \to B_1 \to A_1 \to \ldots</math>

est donnée par le lemme du serpent. Si nous appelons les cartes affichées i₁, j₁, et k₁, et si A₂ = i₁A₁ et B₂ = Ker j₁k₁ / Im j₁k₁, on peut démontrer que

<math>\ldots \to A_2 \to A_2 \to B_2 \to A_2 \to \ldots</math>

est une autre suite exacte.

Exemples

Quelques suites spectrales notoires :

• Modèle:Lien en théorie de l'homotopie stable, et d'Adams-Novikov
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien pour les foncteurs dérivés d'un composé de deux foncteurs
• Modèle:Lien pour l'homologie singulière du pullback d'une fibration
• Modèle:Lien en cohomologie des variétés complexes
• Modèle:Lien en cohomologie des faisceaux
• Modèle:Lien en cohomologie des groupes
• Modèle:Lien d'une fibration

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Robert Mosher et Martin Tangora, Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory
• Séminaire Henri Cartan de l'École Normale Supérieure, 1950/1951. Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux

Articles connexes

• Cohomologie
• Transgression