Symbole de Levi-Civita
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Homon En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :
- <math> \varepsilon_{ijk} =\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2}& \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2}& \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2}& \delta_{k3} \end{vmatrix}</math>.
Ainsi, <math>\varepsilon_{ijk}</math> ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.
Dimension 3
En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :
- <math> \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases} +1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{si }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i. \end{cases} </math>
On remarque que si <math>i\ne j</math>, <math>i \ne k</math> et <math>j \ne k</math>, alors <math>(i,j,k)</math> représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.
La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :
- <math>
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} </math>
- <math>
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km} </math>
- <math>
\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn} </math>
Dimension 2
En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :
- <math> \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 & \text{si } (i, j) = (1, 2) \\
-1 & \text{si } (i, j) = (2, 1) \\
\;\;\,0 & \text{si } i = j
\end{cases}
</math>
On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :
- <math>\begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}</math> dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité
- <math>\begin{pmatrix}
\delta_{11} & \delta_{12} \\
\delta_{21} & \delta_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math>
Dimension n
En dimension n, on peut démontrer que
- <math>
\sum_{i_1,\dots ,i_n=1}^n \left( \varepsilon_{i_1\dots i_n} \right)^2 = n! </math> Modèle:Démonstration
Interprétation
Dans une base orthonormée directe <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})</math>, <math>\varepsilon_{ijk}</math> représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs <math>\vec{e_i}, \vec{e_j}, \vec{e_k}</math>.
D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.
