Théorème de Borel-Cantelli
Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion Le théorème de Borel-Cantelli ou lemme de Borel-Cantelli, nommé d'après les mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli, est un résultat de théorie de la mesure très utilisé en théorie des probabilités, par exemple il peut être utilisé pour démontrer la loi forte des grands nombres<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Introduction
En théorie des probabilités, ce théorème concerne une suite d'événements et énonce que : Modèle:Théorème
L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite <math>(X_n)_{n\ge 1}</math> de variables aléatoires, telle que, pour tout <math>n\ge 1,</math>
La somme des <math>\mathbb{P}(X_n = 0)</math> est finie<ref>En fait elle vaut <math>\zeta(2)=\frac{\pi^2}6,</math> voir l'article Fonction zêta de Riemann, par exemple la section Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1.</ref>, donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que <math>X_n = 0</math> se produise pour une infinité d'indices <math>n</math> est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, <math>X_n</math> est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) <math>n_0.</math> On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements <math>(A_n)_{n\ge 0}</math> définie par
Limite supérieure d'ensembles
Modèle:Théorème En d'autres termes, on peut dire que <math>\textstyle \omega\in\limsup_n\, A_n</math> si et seulement si l'ensemble <math>\{k\ge 0\ \vert\ \omega\in A_k\}</math> est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout <math>n\ge 0</math>, on peut trouver <math>k\ge n</math> tel que <math>\omega\in A_k</math>. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :
\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}\,\left(\bigcup_{k\ge n} A_k\right).
</math>Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que <math>\textstyle \omega\in\limsup_n\, A_n</math> si et seulement si <math>\{\omega\in A_k\}</math> « infiniment souvent » ou bien « Modèle:Lang », d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :
\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).
</math>Finalement, remarquons que la définition « <math>\omega\in\limsup_n\, A_n</math> si et seulement si <math>\omega</math> appartient à une infinité de <math>A_k</math> » peut induire en erreur : si par exemple toutes les parties <math>A_k</math> sont égales, il se peut que <math>\omega</math> appartienne à <math>A_k</math> pour une infinité d'indices <math>k</math>, et il se peut donc que <math>\omega</math> appartienne à <math>\textstyle \limsup_n\, A_n,</math> sans pour autant qu'<math>\omega</math> appartienne à une infinité de <math>A_k</math> (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul <math> A_k</math>).
Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)
Pour un espace mesuré général <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math>, le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)
Un espace probabilisé <math>\left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right)</math> est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que <math>\mathbb{P}\left(\Omega\right)=1</math>, alors que dans le théorème général, la mesure (positive) Modèle:Math n'est pas supposée finie a priori. En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire :
Loi du zéro-un de Borel
Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, parfois appelée second lemme de Borel-Cantelli :
La loi du zéro-un de Borel<ref>Modèle:Article. La loi du zéro-un de Borel a été publiée en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui a conduit au lemme de Borel-Cantelli (à vérifier).</ref> montre en particulier que l'hypothèse <math>\textstyle \sum_{n\ge 0}\mu(A_n)<+\infty</math> du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en <math>\textstyle \lim_{n}\mu(A_n)=0</math>. En effet, on peut avoir simultanément d'une part <math>\textstyle \lim_{n}\mathbb{P}(A_n)=0</math> et d'autre part (indépendance des <math>A_n</math> et <math>\textstyle \sum_{n\ge 0}\mathbb{P}(A_n)=+\infty</math>), donc on peut avoir simultanément :
Notes et références
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