Théorème de Leibniz
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Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :
Démonstration
On développe l'équation en introduisant G.
- <math>a AM^2 + b BM^2 = a (AG+GM)^2 + b(BG+GM)^2 = (a AG^2 + b BG^2) + 2 (a AG+b BG) \cdot GM + (a+b) GM^2 = (a AG^2 + b BG^2) + (a+b) GM^2</math>
L'égalité se réduit donc à (a+b)GM2 = cste, qui doit être positive.
Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
Le théorème se généralise aisément à un n-uplet de points.
Rapport avec l'analysis situs
Leibniz, dans sa Caractéristique géométrique, représente l'écriture du cercle de la manière suivante : ABC γ ABY qui peut se lire « ABC pareil que ABY ». Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B ? On peut traduire encore de cette manière : AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B — distances égales).
