Théorème des milieux
En géométrie élémentaire, le théorème des milieux, ou théorème de la droite des milieux, est un cas particulier du théorème de Thalès joint à sa réciproque.
Théorème direct
Énoncé
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté<ref name=cours>Voir par exemple Modèle:Ouvrage, mais tout autre livre de mathématiques de Modèle:4e conforme au programme de 1988 ou encore de 2008 (voir Modèle:Lien web) peut convenir.</ref>.
Formulation graphique
Le théorème peut être représenté graphiquement de la façon ci-dessous :
Démonstration en géométrie élémentaire
Cette propriété se démontre<ref name=dem>Voir par exemple Modèle:Harvsp.</ref> sans que soit connue la définition d'un vecteur. Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).
Soit K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK] et IJ = KJ/2.
Comme I est par hypothèse le milieu de [AB], les diagonales de AJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un parallélogramme.
Ses côtés [AJ] et [KB] sont parallèles et de même longueur, et il en est donc de même pour [JC] et [KB].
KBCJ n’est pas croisé (B et C sont dans le même demi-plan par rapport à (KJ), B comme symétrique de A par rapport à I, C comme symétrique de A par rapport à J).
- Or si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
Donc KBCJ est un parallélogramme.
Par les propriétés du parallélogramme, les côtés opposés [KJ] et [BC] sont parallèles, la droite (IJ) est donc parallèle à (BC).
Comme les côtés opposés sont égaux, de KJ = BC on déduit : IJ = BC/2.
Démonstration vectorielle
Lorsque la notion de vecteur est déjà connue — par exemple, dans le cas d'un espace affine euclidien associé à un espace vectoriel — il existe une démonstration vectorielle beaucoup plus courte.
Puisque I est milieu de (A,B) et J est milieu de (A,C), on a
- <math>\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\text{ et }\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AJ}</math>, d'où
- <math>\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2\left(\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}\right)=2\overrightarrow{IJ}</math>.
Les vecteurs <math>\overrightarrow{IJ}</math> et <math>\overrightarrow{BC}</math> sont colinéaires donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
La norme de <math>\overrightarrow{IJ}</math> est égale à la moitié de celle de <math>\overrightarrow{BC}</math>, autrement dit la distance IJ est égale à BC/2.
On peut dissimuler la relation de Chasles utilisée ci-dessus, en assimilant l'espace affine à son espace vectoriel associé via le choix de Modèle:Mvar comme origine<ref>Cette démarche apparaît dans un exercice résolu de Modèle:Ouvrage.</ref>. Les équations précédentes s'écrivent alors : Modèle:Math et Modèle:Math, d'où Modèle:Math.
Théorème réciproque
C'est un cas particulier du Théorème de Thalès<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
Modèle:Théorème Il existe une démonstration de cette réciproque faisant intervenir uniquement des notions d'aire.
- On suppose que la droite passe par le milieu I de côté [AB], qu'elle est parallèle au côté [BC] et qu'elle coupe le côté [AC] en un point J'.
- Le triangle CBI a même sommet que le triangle CBA et a une base moitié donc
- aire (CBI) = Modèle:Frac aire (CBA).
- Le segment [IJ'] est parallèle à la base [BC] donc, par cisaillement,
- aire (CBI) = aire (CBJ').
- L'aire du triangle BCJ' est donc la moitié de l'aire du triangle BCA et les points C, J' et A sont alignés donc
- CJ' = Modèle:Frac CA.
- Le point J' est donc égal au milieu J du segment [CA].
Alternativement, le théorème réciproque peut se démontrer élémentairement comme le théorème direct : en notant K' le symétrique de J' par rapport à I, le quadrilatère AJ'BK' est un parallélogramme donc (BK') est parallèle à (J'A) = (CJ'), si bien que BK'J'C est aussi un parallélogramme ; par conséquent, CJ' = BK' = J'A.
Remarquons que le théorème réciproque peut se déduire de la première affirmation du théorème direct<ref name=dem/>, et inversement : avec les mêmes notations que ci-dessus, J est égal à J' si et seulement si (IJ) est parallèle à (IJ'), c'est-à-dire à (BC).
