Théorèmes de Picard

Modèle:Voir homonyme En analyse complexe, les théorèmes de Picard, du mathématicien Émile Picard, sont au nombre de deux :

Le petit théorème de Picard dit qu'une fonction entière non constante prend tout nombre complexe comme valeur, sauf peut-être un certain nombre complexe<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.

Le grand théorème de Picard dit qu'une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un certain nombre complexe.

Remarques

• Le « sauf peut-être un » dans ces énoncés est nécessaire, comme le montrent les exemples suivants. La fonction entière <math>z\mapsto\mathrm e^z</math> (l'exponentielle complexe) ne s'annule pas. Elle possède même une singularité essentielle en l'infini (c'est une fonction transcendante). La fonction <math>z\mapsto\mathrm e^{1/z}</math> est un exemple de fonction ne s'annulant pas avec singularité essentielle bornée (au point <math>0</math>).
• Le cas des fonctions polynomiales est une conséquence directe du théorème de d'Alembert-Gauss.
• Le petit théorème se déduit immédiatement du grand, car toute fonction entière est soit polynôme soit elle possède une singularité essentielle à l'infini.
• Le grand théorème de Picard généralise le théorème de Weierstrass-Casorati.

• Une récente conjecture de B. Elsner<ref>P. 330 de Modèle:Article.</ref> est liée au grand théorème de Picard : soient <math>U_1,U_2,\dots,U_n</math> des ouverts connexes qui ont pour réunion le disque unité épointé <math>D\setminus\{0\}</math>. Sur chaque ouvert <math>U_j</math>, soit <math>f_j</math> une fonction holomorphe injective telle que <math>\mathrm df_j=\mathrm df_k</math> sur toutes les intersections <math>U_j \cap U_k</math>. Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur le disque <math>D</math>. (Si le résidu est nul, la conjecture découle du grand théorème de Picard.)

Article connexe

Théorème de Landau, généralisant le « petit » théorème de Picard