Transformation complexe

La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Principe

À une grandeur Modèle:Math, fonction sinusoïdale du temps d'expression :

<math>g(t) = \widehat G \cdot \cos (\omega t + \varphi ) \,</math>,

on fait correspondre un nombre complexe : <math> \underline G \,</math> de module Modèle:Mvar et d'argument Modèle:Mvar. En notant Modèle:Mvar l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit

<math> \underline G = \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,

RemarqueModèle:Référence nécessaire : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

<math> \underline G = \ G(t) \cdot {\rm e}^{j\varphi}\,</math>, avec : <math> \ G(t)= \ G \cdot {\rm e}^{j \omega t}\,</math>,

Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de Modèle:Mvar pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

<math>G =\frac {\hat G}{\sqrt{2}} \,</math>

Opérations élémentaires

• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

• Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

<math> \underline G = \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,

on obtient :

<math> \omega \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right)} \,</math> ou encore <math> j \omega \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)} \,</math>

• Intégration

On intègre le nombre complexe image et on obtient :

<math> \frac{1}{\omega} \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j\left(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}\right)} \,</math>, ou encore <math> \frac{1}{j\omega} \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)} \,</math>

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)

Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction Modèle:Math du type :

<math> g(t) = \widehat G \cdot \cos (\omega t + \varphi ) \,</math>,

On note <math> \underline g </math> un nombre complexe associé à Modèle:Math égal à :

<math> \underline g = \ G \cdot e^{j \varphi} \cdot {\rm e}^{j \omega t} </math>

• <math> | \underline g |</math> est égal à la valeur efficace de Modèle:Math,
• <math> \operatorname{arg}( \underline g ) </math> est égale à la phase totale de Modèle:Math (incluant le Modèle:Math).

Le terme <math> \ G \cdot {\rm e}^{j \varphi} </math> est appelée amplitude complexe<ref>http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe</ref> de s car elle caractérise le signal tandis que le terme Modèle:Math est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que <math> g (t) = \Re ( \underline g ) </math>. <math> \underline g </math> est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de <math> g (t) </math>. Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.