Congruence d'Ankeny-Artin-Chowla

En théorie des nombres, la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla est un résultat publié en 1951 par Modèle:Lien, Emil Artin et Sarvadaman Chowla. Elle concerne le nombre de classes h de l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel de discriminant d > 0. Si l'unité fondamentale du corps est

<math>\frac12(t+u\sqrt d)\,</math>

avec t et u entiers, elle exprime sous une autre forme la classe de congruence modulo p de

<math>\frac{ht}u</math>

pour tout nombre premier p > 2 qui divise d. Dans le cas p > 3, elle établit :

<math>-2{mht \over u} \equiv \sum_{0 < k < d} {\chi(k) \over k}\lfloor {k/p} \rfloor \mod p</math>

où <math>m =\frac dp</math> et <math>\chi</math> est le caractère de Dirichlet pour le corps quadratique. Pour p = 3, il existe un facteur (1 + m) multipliant le côté gauche de l'équation. Ici,

<math>\lfloor x\rfloor</math>

représente la fonction partie entière de x.

Un résultat relié est le suivant :

<math>\text{si}\quad d=p\equiv1\mod4\quad\text{alors}\quad{u\over t}h\equiv B_{\frac{p-1}2}\mod p,</math>

où B_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Il existe certaines généralisations de ces résultats de base dans les articles des auteurs.

Références

• Modèle:Article