Dans la seconde définition, un caractère de Dirichlet est un type particulier de fonction arithmétique, c'est-à-dire d'application de l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs dans ℂ :
Un caractère de Dirichlet modulo n est une fonction arithmétique qui est :
Les caractères χ de la première définition sont en bijection avec les caractères χ' de la seconde : si la classe dans ℤ/nℤ d'un entier d appartient à U alors χ'(d) est l'image par χ de cette classe et sinon, χ'(d) = 0.
Si d est un diviseur de n, tout caractère de Dirichlet modulo d peut être vu comme un caractère de Dirichlet modulo n, par composition avec la projection (ℤ/nℤ)× → (ℤ/dℤ)×.
Fichier:Dirichletcharacter.pngcaractère de Dirichlet non principal modulo 6On dit qu'un caractère de Dirichlet modulo n est primitif s'il ne vient pas d'un caractère de Dirichlet modulo un diviseur strict de n ; dans ce cas, n est appelé le conducteur du caractère<ref>Modèle:Harvsp.</ref>,<ref>Modèle:Harvsp.</ref>. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n = 12 de noyau non trivial.
Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal (ou caractère de conducteur 1) modulo n.
Fichier:Caractere de dirichlet.pngCaractère de Dirichlet principal modulo 3Le caractère de Dirichlet principal modulo 1 (valant 1 sur tous les entiers) est dit caractère trivial.
Le conjugué d'un caractère est son caractère inverse pour la multiplication. Autrement dit (pour tout caractère et tout élément de U) : l'image de l'inverse est le conjugué de l'image.
<math>\forall f \in\Complex^U \quad f = \frac1{\sqrt {\varphi (n)}} \sum_{\chi \in \widehat U} \widehat f (\chi)\chi.</math>
Symbole de Legendre
Les caractères à valeurs réelles sont les morphismes de U dans {–1, 1} (les seules racines réelles de l'unité). Le caractère principal est le morphisme trivial. Les caractères non principaux à valeurs réelles sont les éléments d'ordre 2 du groupe Û, isomorphe à U. Il en existe dès que l'ordre du groupe est pair, donc dès que n > 2 d'après la proposition suivante.
Si n est strictement plus grand que 2, alors U est d'ordre pair. En effet, si n est divisible par un nombre premierp > 2 alors φ(n) est divisible par le nombre pair p – 1, et sinon, n est égal à 2r où r est un entier strictement supérieur à 1 et φ(n) est égal à Modèle:Nobr
La proposition suivante généralise la construction du symbole de Legendre, qui correspond au cas particulier où n est premier et impair.
Si n est une puissance d'un nombre premier impair alors il existe un unique caractère non principal à valeurs réelles. En effet, dans ce cas, U (donc aussi Û) est non seulement d'ordre pair mais cyclique (cf. § « Cas où n n'est pas premier » de l'article « Anneau ℤ/nℤ ») donc possède un unique élément d'ordre 2.
La série L de Dirichlet d'un caractère <math>\chi\in\widehat U</math>, notée <math>L(s,\chi)</math> est définie, pour tout nombre complexe <math>s</math> de partie réelle > 1, par la série absolument convergente :
<math>\forall s \in\Complex\;\;\;\text{tel que}\;\;\;\mathrm{Re} (s) > 1\qquad L(s, \chi):= \sum_{n=1}^\infty\frac {\chi(n)}{n^s}</math>.
Exemple
Si <math>\chi</math> est le caractère principal modulo 3 illustré plus haut, alors <math>L(s,\chi)=1+\frac1{2^s}+\frac0{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\frac0{6^s}+\frac1{7^s}+\dots</math>.
<math>\forall s \in\Complex\;\;\;\text{tel que}\;\;\;\mathrm{Re} (s) > 1\qquad L(s,\chi)=\prod_{p \in \mathcal P}\frac1{1-p^{-s}\chi(p)}</math>.
De même que celui d'Euler, ce produit infini est absolument convergent, si bien que la série suivante l'est aussi et fournit — comme pour la fonction ζ, qui correspond à χ = 1 — une branche de son logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 1, notée <math>\log L</math>, telle que <math>\exp(\log L(s,\chi))=L(s,\chi)</math> :
L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe m de U, ce qui revient à démontrer le théorème de la progression arithmétique.
On définit une fonction ω de S × U dans ℂ, où S désigne le demi-plan complexe des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 :
<math>\forall u \in U \quad\forall s \in\Complex\;\;\;\text{tel que}\;\;\;\mathrm{Re} (s) > 1\qquad\omega (s,u) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat U}\overline{\chi(u)}\; \log L(s,\chi)</math>.
Le théorème de Plancherel Modèle:Supra permet d'exprimer ω sous une autre forme, grâce à laquelle la valeur en (s, m) fournit suffisamment d'informations pour conclure :
<math>\forall u \in U \quad\forall s \in\Complex\;\;\;\text{tel que}\;\;\;\mathrm{Re} (s) > 1\qquad\omega (s,u)=\sum_{p \in \mathcal P}\quad\sum_{k\in\N^*\text{ et }p^k \in u}\frac 1{kp^{ks}}.</math>
D'après la formule de Plancherel, <math>h</math> est donc égale à la transformée de Fourier (définie comme ci-dessus mais en intervertissant U et Û) de la fonction <math>\chi\mapsto\frac1\sqrt{\varphi(n)}\log L(s,\chi)</math>, c'est-à-dire à <math>u\mapsto\omega(s,u)</math>.
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Histoire
Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduits par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver son théorème sur l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.
