Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler<ref>Modèle:Article, Modèle:MathSciNet </ref>.

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

<math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)\,</math>.

On note <math>\Delta</math> l'opérateur de différence défini par

<math>(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,</math>.

Alors nous avons

<math>\Delta(x)_n=n(x)_{n-1}\,</math>

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur <math>\Delta</math> et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est <math>x^n</math>.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.

Si <math>f</math> est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence <references/>