Produit de Wallis

Fichier:Wallis product-chart.png

En mathématiques, le produit de Wallis, ou formule de Wallis, est une expression de la moitié de la [[Pi|constante Modèle:Math]] sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1656 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

<math>\frac{\pi}2=\frac21\times\frac23\times\frac43\times\frac45\times\frac65\times\frac67\times\frac87\times\frac89\cdots\frac{2n}{2n-1}\times\frac{2n}{2n+1}\cdots</math>

soit, de façon plus condensée :

<math>\frac{\pi}2=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac1{4n^2-1}\right)</math>

ou encore :

<math>\frac{\pi}2=2\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)(2k+2)}{(2k+1)(2k+1)}=2\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k+1)^2-1}{(2k+1)^2}=2\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac1{(2k+1)^2}\right).</math>

Une formulation équivalente est :

<math>\pi=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac1n \frac{2^2\times 4^2\times 6^2 \cdots (2n)^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,}{1^2\times 3^2 \times5^2 \cdots (2n-1)^2}=\lim_{n\rightarrow +\infty} \frac1n \prod_{k=1}^{n}\frac{(2k)^2}{(2k-1)^2}</math>.

Démonstration

On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis.

C'est aussi une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass<ref>Modèle:Planetmath.</ref>) :

<math>

\frac{\sin(x)}x=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) </math> appliquée à Modèle:Math :

<math>

\frac2{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac1{4n^2}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2-1}{4n^2}\quad{\rm donc}\quad\frac{\pi}2=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}</math><ref>Modèle:MathWorld.</ref>.

Vitesse de convergence

La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis

<math>P_N=\prod_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}</math>

est assez lente, l'écart<ref>Pour une majoration de cet écart, Modèle:Note autre projet</ref> avec Modèle:Math étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de Modèle:Math. La précision peut cependant être améliorée en multipliant P_N par un développement limité dont les premiers termes sont<ref>Modèle:Article.</ref> :

<math>1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}+\frac3{128N^3}+o\left(\frac1{N^3}\right).</math>

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

<math>P_N\simeq1533851903</math>

<math>\left(1+\frac1{4N}\right)P_N\simeq1572198201</math>

<math>\left(1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}\right)P_N\simeq1570760215</math>

<math>\left(1+\frac1{4N}-\frac3{32N^2}+\frac3{128N^3}\right)P_N\simeq1570796164</math>

alors que

<math>\frac{\pi}2\simeq1570796327.</math>