Développement limité

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Modèle:Voir homonymes En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Définitions

Soit Modèle:Mvar une fonction à valeurs réelles<ref>La notion de développement limité peut se généraliser au cas où la fonction est à valeurs complexes ou vectorielles, mais ce cas n'est pas abordé dans cet article ; pour d'autres généralisations, voir l'article développement asymptotique.</ref> définie sur un intervalle Modèle:Math, et Modèle:Math. On dit que Modèle:Mvar admet un développement limité d'ordre n<ref name=dl>Modèle:Ouvrage, définition IV.7.2 ; le polynôme lui-même (qui est unique s'il existe) est appelé par eux développé limité de Modèle:Mvar, et noté Modèle:Math ou, si la précision est nécessaire, Modèle:Math.</ref> (abrégé par DLn) en Modèle:Math, s'il existe Modèle:Math réels Modèle:Math tels que la fonction <math>R : I\to\R</math> définie par :

<math>f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + R(x )</math>
vérifie : Modèle:Math tend vers Modèle:Math lorsque Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :
<math>\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0.</math>

Les fonctions Modèle:Math vérifiant ceci sont notées Modèle:Math (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

<math>f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + o((x - x_0)^n).</math>

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant Modèle:Math :

<math>f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_ih^i + o(h^n).</math>
Conséquences immédiates

Opérations sur les développements limités

Somme<ref name="Somme+Produit" />
Si f et g admettent deux DLn en Modèle:Math, alors f + g admet un DLn en Modèle:Math, dont la partie régulière s'obtient en sommant les deux parties régulières des DLn de f et g.
Multiplication par un scalaire
Si f admet un DLn en Modèle:Math, alors λf admet un DLn en Modèle:Math, dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du DLn de f par λ.
Produit<ref name="Somme+Produit">Modèle:Note autre projet</ref>
Si f et g admettent deux DLn en Modèle:Math, de parties régulières respectives P et Q, alors fg et PQ admettent un DLn en Modèle:Math, de même partie régulière.
Si Modèle:Math = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1.
Inverse
Si u(Modèle:Math) = 0 et si u admet un DLn en Modèle:Math, alors Modèle:Sfrac admet un DLn. La partie régulière de ce développement limité est celle du DLn de <math> \sum_{k=0}^n u^k</math> en Modèle:Math.
Quotient
On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.
Composition<ref>Modèle:Note autre projet</ref>
Si u admet un DLn en Modèle:Math de partie régulière P et si v admet un DLn en u(Modèle:Math) de partie régulière Q, alors v ∘ u et Q ∘ P possèdent un DLn en Modèle:Math, de même partie régulière.
Modèle:Citation<ref>C'est une application de la règle de L'Hôpital. Modèle:Note autre projet</ref>
Si f admet un DLn en Modèle:Math, <math>f(x)=\sum_{i=0}^n a_i(x - x_0)^i+o((x-x_0)^n)</math>, alors toute primitive F de f admet un DLn + 1 en Modèle:Math qui est
<math>F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^n\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}+o((x-x_0)^{n+1}).</math>
Dérivation
Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DLn en Modèle:Math pour la dérivée d'une fonction admettant un DLn + 1 en Modèle:Math.
Par exemple, en Modèle:Math, la fonction x ↦ xModèle:3sin(1/x) – prolongée par Modèle:Math – admet un DL2 (il s'agit de Modèle:Math) mais sa dérivée n'admet pas de DL1.
Par contre, comme déjà dit, si Modèle:Mvar admet un DLn en Modèle:Math, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DLn + 1 de F en Modèle:Math.

Développement limité et fonctions dérivables

Modèle:Article détaillé Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction Modèle:Mvar [[Dérivation itérée|dérivable Modèle:Mvar fois]] au point Modèle:Math (avec <math>n\ge 1</math>) admet un DLn en ce point : Modèle:Retrait soit en écriture abrégée Modèle:Retrait

On le démontre<ref name=Wikiversité>Modèle:Note autre projet</ref> par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d'Modèle:Citation terme à terme d'un DL.

L'existence d'un DL0 en Modèle:Math équivaut à la continuité en Modèle:Math, et l'existence d'un DL1 en Modèle:Math équivaut à la dérivabilité en Modèle:Math. En revanche, pour <math>n\ge 2</math>, l'existence d'un DLn en Modèle:Math n'implique pas que la fonction soit <math>n</math> fois dérivable en Modèle:Math (par exemple Modèle:Nobr — prolongée par continuité en Modèle:Math — admet, en Modèle:Math, un DL2 mais pas de dérivée seconde).

Quelques utilisations

Le développement d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à écrire que Modèle:Mvar est continue en Modèle:Math : Modèle:Retrait

Le développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à approcher une courbe par sa tangente en Modèle:Math ; on parle aussi d'approximation affine : Modèle:Retrait Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en Modèle:Math.

Le développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en Modèle:Math. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de Modèle:Math, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable Modèle:Math permet, à l'aide d'un DL0 en Modèle:Math, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL1 en Modèle:Math, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL2 permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

Quelques exemples

Fichier:Développement limité du cosinus.svg
Fonction cosinus (courbe bleue) et son développement limité d'ordre Modèle:Math en Modèle:Math (courbe noire).

Les fonctions suivantes possèdent des DLn en Modèle:Math pour tout entier n.

  • <math>\frac1{1-x}=\sum_{i=0}^n x^i+\frac{x^{n+1}}{1-x}=\sum_{i=0}^nx^i+o(x^n)</math> (la première égalité se déduit du terme général de la série géométrique).
  • [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]<math>=\sum_{k=1}^m\frac{(-1)^{k-1}}kx^k+o(x^m)</math> par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
  • [[Fonction exponentielle|Modèle:Math]]<math>=\sum_{i=0}^n\frac1{i!}x^i+ o(x^n)</math> (en utilisant la formule de Taylor)
  • [[Fonction sinus|Modèle:Math]]<math>x=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}+o(x^{2n+2})</math> à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en Modèle:Math est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et Modèle:Math.
  • [[Fonction cosinus|Modèle:Math]]<math>x=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} + o(x^{2n+1})</math> à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en Modèle:Math est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et Modèle:Math.
  • [[Fonction puissance|Modèle:Math]]<math>=1+\sum_{i=1}^n\frac1{i!}\left(\prod\limits_{j=0}^{i-1}(a-j)\right)x^i+o(x^n).</math>

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Formulaire

Plusieurs fonctions usuelles admettent un développement limité en Modèle:Math, qui peuvent être utilisés pour développer des fonctions spéciales :

  • [[Fonction puissance|Modèle:Math]]<math>= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n + o(x^n)</math>
  • <math>\frac1{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)</math>
  • <math>\frac1{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)</math>
  • [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]<math>(1-x)=-x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3-\cdots-\frac{x^{n}}n+o(x^{n})</math>
  • [[Logarithme naturel|Modèle:Math]]<math>(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}n+o(x^{n})</math>
  • [[Fonction exponentielle|Modèle:Math]]<math>= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)</math>
  • [[Cosinus|Modèle:Math]]<math>x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})</math>
  • [[Sinus (mathématiques)|Modèle:Math]]<math>x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Fonction tangente|Modèle:Math]]<math>x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1}+o(x^{2n})</math>, où les <math>B_n</math> sont les nombres de Bernoulli.
  • [[Cosinus hyperbolique|Modèle:Math]]<math>x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})</math>
  • [[Sinus hyperbolique|Modèle:Math]]<math>x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Tangente hyperbolique|Modèle:Math]]<math>x=x-\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n}4^n(4^n-1)}{(2n)!}x^{2n-1}+o(x^{2n})</math>
  • [[Arc sinus|Modèle:Math]]<math>x=x+\frac{x^3}{2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Arc cosinus|Modèle:Math]]<math>x=\frac\pi 2-x-\frac{x^3}{2 \cdot 3}-\frac{1 \cdot 3 \cdot x^5}{2 \cdot 4 \cdot 5}-\cdots-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) x^{2n+1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Arc tangente|Modèle:Math]]<math>x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5- \cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Sinus hyperbolique#Fonction réciproque|Modèle:Math]]<math>x=x-\frac{x^3}{2\cdot3}+\cdots+(-1)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)\cdot (2n+1)}+o(x^{2n+2})</math>
  • [[Tangente hyperbolique#Fonction réciproque|Modèle:Math]]<math>x=x+\frac{x^3}3+ \cdots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})</math>

Approximations affines : développements limités d'ordre 1

Modèle:Article détaillé On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés Modèle:Citation, ou Modèle:Citation), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point Modèle:Math, par :

<math>f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+o(x-x_0)</math>

(on retrouve l'équation de la tangente au [[Représentation graphique d'une fonction mathématique|graphe de Modèle:Math]]).

En particulier, on a, au point Modèle:Math :

  • <math>(1 + x)^a= 1 +ax+ o(x)</math> et donc
    • <math>\frac1{1 + x} = 1 - x + o(x)</math> et
    • <math>\sqrt{1 + x} = 1 + \frac x2+ o(x)~;</math>
  • <math>\ln{(1 + x)}= x + o(x)~;</math>
  • <math>{\rm e}^x = 1 + x + o(x).</math>

Développements usuels en Modèle:Math de fonctions trigonométriques

  • À l'ordre 2 :
    • <math>\sin x=x+o(x^2)</math>, <math>\arcsin x=x+o(x^2)</math>,
    • <math>\tan x=x+o(x^2)</math>, <math>\arctan x=x+o(x^2)</math>,Modèle:RetraitModèle:Retrait

Notes et références

Modèle:Références

Articles connexes

Modèle:Portail

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