Série entière

Modèle:Voir homonymes En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme

<math>\sum a_nz^n</math>

où les coefficients Modèle:Mvar forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'Modèle:Citation.

Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence Modèle:Mvar, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon Modèle:Mvar), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.

Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z – c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en tout point d'un ouvert, elle est dite analytique sur cet ouvert.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonctions génératrices et se généralisent dans la notion de série formelle.

Définitions

Dans ce qui suit, la variable Modèle:Mvar est réelle ou complexe.

Série entière

Une série entière de variable Modèle:Mvar est une série de terme général Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar est un entier naturel<ref>L'expression Modèle:Citation ne concerne pas les séries contenant des puissances entières négatives (séries de Laurent).</ref>, et <math>(a_n)_{n\in\N}</math> est une suite de nombres réels ou complexes. L'usage veut que l'on adopte la notation <math>\sum a_nz^n</math> ou <math>\sum_n a_nz^n</math> pour parler d'une série entière, tandis que l'on écrira <math>\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n</math> pour son éventuelle somme, en cas de convergence, pour un Modèle:Mvar donné. L'expression Modèle:Citation pourrait provenir d'une abréviation de Modèle:Citation<ref>Sur le site de Robert Ferreol : Modèle:Citation</ref>, ou du développement en série de Taylor des fonctions entières<ref name="Hauchecorne" />.

Rayon de convergence

Modèle:Article détaillé Une bonne partie des propriétés de convergence d'une série entière peuvent être exprimées à l'aide de la quantité suivante, appelée rayon de convergence de la série

<math>R=\sup\left\{|z|~\left|~z\in\Complex,\sum a_nz^n \text{ converge}\right.\right\}\in\,\R^+\cup\{+\infty\}</math>.

Ces propriétés se fondent sur le lemme suivant, dû à Abel (à ne pas confondre avec le théorème d'Abel, lequel est utilisé pour démontrer la continuité de la somme de la série à la frontière du disque de convergence).

Dès lors, il est possible de préciser le mode de convergence de cette série de fonctions :

• la série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de centre 0 et de rayon Modèle:Mvar qui est appelé disque ouvert de convergence ;
• la série entière diverge grossièrement (c'est-à-dire que le terme général ne converge pas vers 0) pour tout complexe Modèle:Mvar de module strictement supérieur au rayon R.

Dans le cas où la variable Modèle:Mvar est réelle, on parle encore de disque ouvert de convergence, bien que cela désigne un intervalle de la droite réelle (Modèle:Math).

Lorsque le rayon est infini, le disque ouvert de convergence est le plan complexe (ou la droite réelle). En revanche, il n'y a a priori convergence normale que sur les disques fermés de rayon fini. Un rayon nul signifie qu'il y a divergence en tout point autre que Modèle:Math, comme c'est le cas par exemple pour la série <math>\sum {n!\,z^n}</math>.

Ces propriétés ne règlent pas toutes les questions de convergence. Notamment, aux points de module Modèle:Mvar, il peut y avoir convergence ou non, et convergence avec ou sans convergence absolue. Par exemple, les séries entières <math>\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\,z^n</math>, <math>\sum_{n\ge1}\frac1n\,z^n</math> et <math>\sum z^n</math> ont pour rayon de convergence 1, la série entière <math>\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\,z^n</math> converge absolument en tout point de module 1, alors que <math>\sum_{n\ge1}\frac1n\,z^n</math> ne converge absolument en aucun point de module 1 mais converge en tout point autre que 1, et la série entière <math>\sum z^n</math> ne converge en aucun point de module 1.

Calcul du rayon de convergence

La formule de Cauchy-Hadamard donne l'expression du rayon de convergence en termes de limite supérieure :

<math>\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right)</math>.

Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Dans la pratique, si les Modèle:Mvar sont non nuls à partir d'un certain rang, il est parfois possible d'appliquer la règle de d'Alembert :

Si <math>\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= L</math> (limite éventuellement infinie), alors le rayon de convergence est égal à Modèle:Sfrac.

Par exemple, la série entière <math>\sum_n 2^n\,z^n</math> admet un rayon de convergence égal à Modèle:Sfrac.

Mais il est souvent plus efficace d'employer les propriétés de convergence pour donner d'autres caractérisations du rayon de convergence. Par exemple :

<math>R=\sup\left\{r\in\R_+~\left|~a_nr^n\to0\right.\right\}=\sup\left\{r\in\R_+~\left|~(a_nr^n)\text{ est bornée}\right.\right\}</math>.

Fonction somme

Si <math>{(a_n)}_{n\in\N}</math> est une suite complexe telle que la série entière <math>\sum a_nz^n</math> admet un rayon de convergence Modèle:Mvar strictement positif, on peut alors définir sa fonction somme, en tout point de convergence, par

<math>f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nz^n</math>

Cette fonction est notamment définie sur le disque ouvert de convergence Modèle:Math.

Il existe une grande variété de comportements possibles pour la série et la fonction somme au bord du domaine de définition. Notamment, la divergence de la série en un point de module Modèle:Mvar n'est pas incompatible avec l'existence d'une limite en Modèle:Mvar pour la fonction. Ainsi par somme d'une série géométrique,

<math>\forall x \in\left]-1,1\right[\qquad \frac1{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^{2n}.</math>

La fonction se prolonge par continuité en –1 et 1, qui sont pourtant des valeurs pour lesquelles la série diverge.

Exemples

Une fonction polynomiale réelle ou complexe est une série entière de rayon de convergence infini.

La série géométrique <math>\sum{z^n}</math> a pour rayon de convergence 1 et sa fonction somme vaut Modèle:Sfrac sur le disque ouvert Modèle:Math.

La série entière <math>\sum\frac{z^n}{n!}</math> a un rayon de convergence infini. Sa fonction somme, définie dans tout le plan complexe, est appelée fonction exponentielle complexe. C'est à partir d'elle que sont analytiquement définies les fonctions sinus et cosinus.

La série entière <math>\sum_{n\ge 1} {\frac{(-1)^{n+1} z^n}n}</math> a un rayon de convergence égal à 1. Elle constitue une détermination du logarithme complexe de Modèle:Math, donc fournit une réciproque d'une restriction de l'exponentielle complexe.

Opérations sur les séries entières

Les propriétés qui suivent seront énoncées pour deux séries entières <math>\sum a_n z^n</math> et <math>\sum b_n z^n</math>, de rayons de convergence respectifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, et dont les fonctions somme s'écrivent

<math>f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty}a_nz^n,\qquad g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n</math>.

Somme et produit

La somme des séries entières Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est une série entière. Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont distincts, son rayon est le minimum de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. S'ils sont égaux, elle a un rayon supérieur ou égal à cette valeur commune. La somme est alors

<math>\left(\sum _{n=0}^{+\infty}a_nz^n\right)+\left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_nz^n \right)= \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n + b_n)z^n. </math>

On peut former le produit des deux séries entières, en utilisant les propriétés du produit de Cauchy des séries à termes complexes. Ainsi la série produit se calcule par la formule

<math>\left(\sum _{n=0}^{+\infty} a_nz^n \right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty} b_nz^n \right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) z^n. </math>

Elle admet un rayon de convergence supérieur ou égal au minimum des deux rayons.

Substitution

Sous certaines conditions, il est possible d'effectuer la substitution d'une série entière dans une autre, ce qui conduit à composer les fonctions sommes.

La composition est possible si les rayons de convergence des deux séries sont non nuls, et si le coefficient Modèle:Math est nul. La série obtenue par substitution est de rayon strictement positif. Sur un disque suffisamment petit inclus dans le disque de convergence, la somme de la série est la composée <math>g\circ f</math>.

La substitution peut notamment être utilisée pour le calcul, quand il est possible, d'inverse d'une série entière, puis du quotient de deux séries entières.

Dérivation

La série <math>\sum a_{n+1}\,(n+1)\,z^n</math> est appelée série dérivée de la série <math>\sum a_nz^n</math>. Une série admet le même rayon de convergence que sa dérivée, et si cette valeur commune est strictement positive, il est possible de dériver terme à terme la série dans le disque de convergence

<math>\forall z, |z|<R, \qquad f'(z)=\sum_{n =0}^{+\infty} a_{n+1}\,(n+1)\,z^n</math>.

Pour une série entière de la variable réelle, la fonction somme associée est donc dérivable sur Modèle:Math, et même de classe <math>\mathrm C^{\infty}</math>, puisqu'il est possible d'effectuer Modèle:Mvar dérivations successives terme à terme, toutes les séries dérivées successives ayant même rayon de convergence.

Pour une série de la variable complexe, la dérivée est à prendre au sens complexe également, c'est-à-dire que la fonction somme est holomorphe dans le disque de convergence.

Fonction développable en série entière

Une fonction Modèle:Mvar de la variable réelle ou complexe, définie au voisinage d'un point c, est dite développable en série entière au voisinage de c s'il existe une série entière <math>\sum a_nz^n</math> de rayon Modèle:Mvar strictement positif telle que

<math>\forall z\in D(c, R)\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n</math>.

Au sujet de l'existence et de l'unicité du développement

Une fonction Modèle:Mvar développable en série entière est nécessairement de classe <math>\mathrm C^{\infty}</math> au voisinage de c Modèle:Supra et le coefficient d'indice n du développement est donné par la formule

<math>\forall n\in\N\quad a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}</math>.

Ceci montre que si le développement en série entière existe, il est unique, et donné par la série de Taylor de la fonction au point c.

La réciproque est cependant fausse : il ne suffit pas qu'une fonction de variable réelle soit <math>\mathrm C^{\infty}</math> pour qu'elle soit développable en série entière :

• On peut donner comme contre-exemple la fonction définie sur la droite réelle par <math>f(x)={\rm e}^{-1/x^2}</math>, prolongée par continuité par Modèle:Math.

  En effet, cette fonction est dérivable à tout ordre en 0, de dérivée valant 0 à l'origine. Sa série de Taylor en 0 est la série nulle. Elle admet un rayon de convergence infini, mais n'a pour somme Modèle:Math en aucun point autre que 0.

• Il existe même des fonctions de classe <math>\mathrm C^{\infty}</math> dont le rayon de convergence de la série de Taylor est nul. Citons la fonction

Modèle:Retrait Sa série de Taylor est Modèle:Retrait et le critère de d’Alembert prouve que son rayon de convergence est nul.

Développements usuels en séries entières

Modèle:Loupe Ces développements usuels sont souvent très utiles dans le calcul d'intégrales. Citons par exemple :

<math>\forall x\in\Complex\qquad{\rm e}^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!},</math>

<math>\forall x\in D(0,1)\qquad{1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n.</math>

Fonctions analytiques

Une fonction de la variable réelle ou complexe, définie sur un ouvert Modèle:Mvar, est dite analytique sur Modèle:Mvar lorsqu'elle admet un développement en série entière au voisinage de tout point de Modèle:Mvar. Une telle fonction est indéfiniment dérivable sur Modèle:Mvar (holomorphe s'il s'agit d'une fonction de la variable complexe).

En analyse complexe, on démontre que toute fonction holomorphe sur un ouvert Modèle:Mvar de <math>\Complex</math> est analytique. Au contraire, en analyse réelle, il existe de nombreuses fonctions <math>\mathrm C^{\infty}</math> non analytiques Modèle:Supra.

La fonction somme Modèle:Mvar d'une série entière de rayon de convergence Modèle:Mvar strictement positif est elle-même analytique sur son disque ouvert de convergence Modèle:Math. Cela signifie qu'on peut changer d'origine pour le développement en série entière : précisément, si Modèle:Math est un complexe de module strictement inférieur à Modèle:Mvar, alors Modèle:Mvar est développable en série entière sur le disque de centre Modèle:Math et de rayon Modèle:Math.

Les fonctions analytiques jouissent de propriétés remarquables. Selon le « principe des zéros isolés », les points d'annulation d'une telle fonction sont des points isolés. Le « principe du prolongement analytique » indique que, si deux fonctions analytiques sont définies sur un ouvert connexe Modèle:Mvar et coïncident sur une partie A incluse dans Modèle:Mvar présentant au moins un point d'accumulation, alors elles coïncident sur Modèle:Mvar.

Comportement au bord du domaine de convergence

Cas possibles

Dans le cas d'un rayon de convergence fini Modèle:Math, le comportement de la série entière pour les complexes Modèle:Mvar tels que Modèle:Math peut suivre différents schémas parmi lesquels :

• absolue convergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref name = "Contre-exemples">Modèle:Ouvrage.</ref> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{z^n}{n^2}</math> ;
• semi-convergence en certaines valeurs et divergence en d'autres comme par exemple<ref name = "Contre-exemples"/> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{z^n}{n}</math> (divergence en 1, semi-convergence en -1) ;
• divergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref name = "Contre-exemples"/> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}}z^n</math> ;
• semi-convergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref>Modèle:Ouvrage, problème n°10.</ref> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{(-1)^{\mathtt{E}(\sqrt{n})}}{n}z^n</math> où <math>\mathtt{E}</math> désigne la partie entière.

Théorème de convergence uniforme d'Abel

Le théorème d'Abel donne une propriété de continuité partielle de la fonction somme lorsqu'il y a convergence de la série entière en un point de son cercle de convergence.

Précisément, soit <math>\sum a_nz^n </math> une série entière de rayon de convergence Modèle:Mvar strictement positif fini. On suppose qu'en un point Modèle:Math de module Modèle:Mvar, la série est convergente. On considère un triangle Modèle:Mvar ayant pour sommets Modèle:Math d'une part et deux points de module strictement inférieur à Modèle:Mvar d'autre part. Alors la série converge uniformément sur Modèle:Mvar.

Notamment, il y a convergence uniforme sur le segment Modèle:Math. Ce cas particulier est appelé théorème d'Abel radial.

Points singuliers et réguliers

Soit <math>\sum a_nz^n </math> une série entière de rayon de convergence Modèle:Mvar strictement positif fini, et Modèle:Mvar la fonction somme. Un point Modèle:Math de module Modèle:Mvar est dit régulier s'il existe un disque ouvert Modèle:Mvar centré en ce point tel que Modèle:Mvar se prolonge en une fonction analytique à <math>D\cup D(0,R)</math>. Dans le cas contraire, le point est dit singulier.

Parmi les complexes de module Modèle:Mvar, il existe toujours un point singulier.

Le théorème des lacunes

Soit Modèle:Math une suite d'entiers naturels strictement croissante, et Modèle:Mvar des nombres complexes tels que la série entière <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_kz^{\lambda_k}</math> ait un rayon de convergence fini non nul. Le théorème des lacunes dû à Ostrowski et Hadamard affirme alors que si la limite inférieure des λ_k+1/λ_k est strictement supérieure à 1 (autrement dit : s'il existe une constante Modèle:Math telle qu'à partir d'un certain rang, Modèle:Math), alors la série ne peut être prolongée analytiquement au-delà de son disque de convergence. Ceci n'exclut pas qu'elle puisse être normalement convergente, ainsi que ses séries dérivées, sur tout le disque fermé.

Voir aussi

Article connexe

Produit eulérien

Bibliographie

• Modèle:Cartan1
• Modèle:Dieudonné2
• Howard Levi, Polynomials, Power Series, and Calculus, Van Nostrand, 1967, 1968.