Fonction holomorphe
En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ.
Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe.
Définition
Modèle:Théorème On remarquera que certains auteurs<ref>Modèle:Ouvrage</ref> exigent de la fonction <math>f'</math> ainsi obtenue d'être continue. C'est en fait seulement un moyen de simplifier des démonstrations ; en effet, la définition présentée ici implique de toute façon sa continuité (en vertu du théorème de Morera)<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
Exemples
Fonctions rationnelles
Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière.
Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles (c'est-à-dire les zéros de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse Modèle:Math est holomorphe sur ℂ*.
Fonctions définies par une série entière
Soit Modèle:Math une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.
La fonction Modèle:Math de D dans ℂ définie par Modèle:Math est holomorphe, et pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.
En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.
La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.
Logarithme complexe
On appelle détermination du logarithme complexe sur un ouvert Modèle:Mvar de ℂ* toute fonction holomorphe Modèle:Mvar de Modèle:Mvar dans ℂ telle que pour tout Modèle:Math, Modèle:Math ou ce qui est équivalent (dans le cas d'un ouvert connexe), toute fonction Modèle:Math holomorphe sur U de dérivée Modèle:Math et pour laquelle il existe Modèle:Math tel que Modèle:Math.
Sur tout ouvert Modèle:Mvar de ℂ* où existe une détermination Modèle:Math du logarithme, on peut définir, pour tout entier relatif Modèle:Math, la fonction Modèle:Math. Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur Modèle:Mvar, et si Modèle:Mvar est connexe, ce sont les seules.
Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert ℂ*.
Il existe une détermination du logarithme sur n'importe quel ouvert du type ℂ*\D où D est une demi-droite de ℂ d'extrémité 0 (on parle de « coupure »), en particulier sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls. Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le logarithme népérien réel.
Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert simplement connexe ne contenant pas 0.
Fonctions puissance et racine n-ième
Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination Modèle:Math du logarithme, on peut définir, pour tout nombre complexe Modèle:Math, une détermination holomorphe sur U de la puissance d'exposant Modèle:Math en posant, pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.
En particulier, pour tout entier Modèle:Math, la fonction Modèle:Math vérifie l'identité ∀Modèle:Math. On dit que cette fonction est une détermination sur U de la [[Racine n-ième|racine Modèle:Math-ième]]. On peut noter Modèle:Racine au lieu de Modèle:Math (si des réels strictement positifs appartiennent à U, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation et sa signification habituelle, servant à désigner la racine Modèle:Math-ième positive).
Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.
Dérivée complexe
Les règles de calcul des dérivées au sens complexe sont identiques à celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle : linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée. Il en résulte que les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas.
Une fonction holomorphe en un point est a fortiori continue en ce point.
Près d'un point Modèle:Math où la dérivée d'une fonction holomorphe Modèle:Math est non nulle, Modèle:Math est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général).
En effet, sa différentielle au point Modèle:Math est l'application ℂ-linéaire <math>\mathrm{d}f_{z_0}:\Complex\to\Complex,\,u \mapsto A\, u</math>, où <math>A = f'(z_0)</math> : la différentielle s'identifie donc à une similitude directe du plan, puisque A est non nul.
Propriétés
Équations de Cauchy-Riemann
Modèle:Article détaillé Si l'on identifie ℂ à ℝ2, alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de ℂ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont ℝ-différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système de deux équations aux dérivées partielles :
On considère une fonction <math>f : U \to\Complex</math> d'une variable complexe, où Modèle:Math est un ouvert du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :
- la variable complexe <math>z</math> est notée <math>x +{\rm i}\, y</math>, où x, y sont réels ;
- les parties réelle et imaginaire de <math>f(z) = f(x +{\rm i}\, y)</math> sont notées respectivement <math>P(x, y)</math> et <math>Q(x, y)</math>, c'est-à-dire : <math>f(z) = P(x, y) +{\rm i}\, Q(x, y)</math>, où <math>P,\, Q</math> sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.
Remarque, lorsque Modèle:Math est holomorphe en Modèle:Math :
Liens entre fonctions holomorphes et fonctions harmoniques
On montre plus loin que les fonctions holomorphes sont de classe <math>C^\infty</math> (voir formule intégrale de Cauchy).
Une conséquence des équations de Cauchy-Riemann est que les laplaciens de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une fonction holomorphe Modèle:Math sont nuls :
Si les parties réelle et imaginaire de <math>f(z) = f(x +{\rm i}\, y)</math> sont notées respectivement <math>P(x, y)</math> et <math>Q(x, y)</math>, c'est-à-dire si : <math>f(z) = P(x, y) +{\rm i}\, Q(x, y)</math>, où <math>P,\, Q</math> sont deux fonctions réelles de deux variables réelles, on a :
On dit que <math>P</math> et <math>Q</math> sont des fonctions harmoniques.
On a également :
<math>P</math> et <math>Q</math> sont dites harmoniques conjuguées.
On a une réciproque :
toute fonction harmonique réelle de la variable complexe est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe.
Théorème intégral de Cauchy
Modèle:Article détaillé Les équations de Cauchy-Riemann permettent de démontrer le lemme de Goursat, qui est essentiellement le théorème intégral de Cauchy ci-dessous dans le cas particulier d'un lacet polygonal, et d'en déduire : Modèle:Théorème
En particulier :
- si Modèle:Math est un lacet simple alors, d'après le théorème de Jordan-Schoenflies, il est la frontière d'un compact K connexe et simplement connexe, et le théorème s'applique alors (si Modèle:Math est rectifiable) à toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant K ;
- si Modèle:Math est holomorphe sur un ouvert Modèle:Math et si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux chemins rectifiables strictement homotopes dans Modèle:Math alors les intégrales de Modèle:Math sur Modèle:Math et Modèle:Math sont égales.
On peut éviter le recours au lemme de Goursat, mais<ref>Modèle:Cartan1, Modèle:P..</ref> au prix d'une hypothèse supplémentaire :
Ce théorème est généralisé par le théorème des résidus aux fonctions holomorphes possédant des singularités isolées.
Primitive d'une fonction holomorphe
Du théorème ci-dessus on déduit :
Il est important que l'ouvert soit simplement connexe, ainsi l'intégrale de Modèle:Math entre deux points ne dépend pas du chemin entre ces deux points.
Par exemple, la fonction Modèle:Math est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe. L'intégrale de Modèle:Math sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut Modèle:Math, mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui-même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de Modèle:Math sur n'importe quel ouvert simplement connexe de ℂ* (cf déterminations du logarithme complexe dans la section « Exemples » ci-dessus).
Formule intégrale de Cauchy et applications
Formule intégrale
Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Math une fonction holomorphe sur un ouvert Modèle:Math de ℂ, alors si C est un cercle orienté positivement, centré en z et inclus (ainsi que son intérieur) dans U.
Représentation en série entière
Modèle:Théorème\int_{C(z_0,r)}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}~\mathrm dw.</math>}}
Par conséquent, Modèle:Math est indéfiniment dérivable sur Modèle:Math, avec
Remarques :
- La série de Taylor en Modèle:Math converge sur tout disque ouvert de centre Modèle:Math et inclus dans Modèle:Math mais peut bien sûr converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor de la détermination principale du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même s'il contient des réels négatifs. C'est la base du principe du prolongement analytique.
- Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.
- Toute fonction holomorphe f est une fonction analytique, donc le principe du maximum, le principe des zéros isolés, l'inégalité de Cauchy sont vérifiés par une fonction holomorphe.
Propriété de la moyenne
De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci : dans la formule ci-dessus pour Modèle:Math, le changement de paramètre Modèle:Math donne :
- L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivées.
- Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de Modèle:Math, qui sont des fonctions harmoniques.
Principe du maximum
Soit Modèle:Mvar une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe Modèle:Mvar. Alors Modèle:Math n'admet pas de maximum local sur Modèle:Mvar. Ainsi, si Modèle:Mvar est borné et que Modèle:Mvar est aussi définie sur l’adhérence de Modèle:Mvar, le maximum de la fonction Modèle:Mvar sur Modèle:Math est atteint sur la frontière de Modèle:Mvar. En d'autres termes, en tout point Modèle:Math de Modèle:Math :
Suites convergentes de fonctions holomorphes
Si une suite (Modèle:Math) de fonctions holomorphes converge vers une fonction Modèle:Math, uniformément sur tout compact de l'ouvert Modèle:Math de ℂ, alors Modèle:Math est holomorphe et pour tout Modèle:Math, la suite (Modèle:Math) des dérivées converge vers Modèle:Math, uniformément sur tout compact de Modèle:Math<ref>Modèle:Harvsp, th. 10.27 et corollaire.</ref>.
Développement de Laurent autour d'un point singulier
Modèle:Théorème\,\mathrm dw\quad\text{où}\quad R_2>r>R_1</math>.
}}
Remarques :
- La notation <math> \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-z_0)^n</math> désigne la somme des deux séries convergentes <math> \sum_{n=0}^{+\infty} c_n(z-z_0)^n</math> et <math> \sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n}(z-z_0)^{-n}</math>.
- Dans le cas d'une fonction rationnelle qu'on cherche à développer en zéro, les coefficients <math>c_n</math> se calculent via un classique développement en série en zéro des éléments simples.
- En pratique, le calcul des coefficients (en n'importe quel point) peut également s'effectuer grâce au théorème des résidus, souvent plus compliqué que de développer en série des fonctions rationnelles, mais qui reste en général plus simple que l'utilisation de la formule directe.
- Le résidu de f en la singularité <math>z_0</math> est le coefficient <math>c_{-1}</math>.
Fonctions méromorphes
Modèle:Loupe Le calcul des Modèle:Math dans le développement de Laurent peut donner lieu à trois possibilités :
- <math>\forall n<0,~~c_n=0</math> : alors Modèle:Math peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de <math>A</math> contenus dans le disque <math>D(z_0,R_1)</math>, et ces points sont dits réguliers. Exemple d'une fonction présentant de tels coefficients : <math>f(z)=\frac{{\rm e}^z-1}z</math> en 0, 0 est un point régulier de Modèle:Math.
- <math>\exists p \in \N</math> tel que <math>c_{-p}\neq 0</math> et <math>\forall n<-p</math> on ait <math>\ c_n=0</math> : alors la fonction <math>\ (z-z_0)^pf(z)</math> peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de <math>A</math> contenus dans le disque <math>D(z_0,R_1)</math>. Ce cas généralise en fait le premier. Ces points sont des pôles d'ordre au plus <math>p</math> de Modèle:Math, il peut en exister qui sont réguliers (ordre 0). On dit que f est une fonction méromorphe sur U si tous les points de A sont des pôles. Exemples de fonctions présentant de tels coefficients : <math>f(z)=\frac{1}{z^k}</math> en 0 (0 est un pôle d'ordre k de Modèle:Math), ou plus généralement les fonctions rationnelles en leurs pôles.
- Dans les autres cas, il existe parmi les points de <math>A</math> contenus dans le disque <math>D(z_0,R_1)</math> au moins un point sur lequel il n'est pas possible de tenter un des prolongements ci-dessus. Un tel point de A est appelé « point singulier essentiel » de Modèle:Math. Exemple : <math>f(z)={\rm e}^{\frac 1z}</math> en 0, 0 est un point singulier essentiel de Modèle:Math.
Anti-holomorphie
Une fonction f(z) est dite anti-holomorphe sur un ouvert D lorsque f ( Modèle:Surligner ) est holomorphe sur l'ouvert conjugué Modèle:Surligner. Elle est donc analytique en Modèle:Surligner.
Une fonction à la fois holomorphe et anti-holomorphe sur D est localement constante sur D, donc constante sur tout connexe de D.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
graphes-fonctions-holomorphes - Balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes, avec images à l'appui.
