Logarithme népérien

Modèle:Infobox Fonction mathématique Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, ou encore jusqu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle logarithme hyperbolique, transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté Modèle:Math.

Le logarithme naturel ou népérien est dit de base [[e (nombre)|Modèle:Math]] car Modèle:Math.

Le logarithme népérien d'un nombre Modèle:Mvar peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever Modèle:Math pour obtenir Modèle:Mvar. La fonction logarithme népérien est donc la bijection réciproque de la fonction exponentielle. C'est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de la fonction inverse Modèle:Math.

Cette fonction fut notée Modèle:Math ou Modèle:Math, dès le début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref>Voir par exemple Modèle:Article ; aussi dans Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.</ref>, et jusque dans la première moitié du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref>Voir par exemple Augustin Cauchy, Exercices d'analyse et de physique mathématique, Modèle:Vol.3, Modèle:P.379, Modèle:Google Livres.</ref>, puis log.<ref>Voir par exemple Adrien-Marie Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, an VI (1797 ou 1798).</ref> ou log<ref>Voir par exemple {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Berlin, 1909 (Modèle:2e éd. par Chelsea, New York, 1953).</ref> dès la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)<ref>Voir les manuels scolaires en France jusqu'en 1972. Ou par exemple : Nikolaï Piskounov, Calcul différentiel et intégral, Modèle:5e éd., 1972, Éditions Mir, Moscou III.10 Modèle:P..</ref>, ou encore logh (« logarithme hyperbolique »)<ref>Voir par exemple {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} L. B. W. Jolley, Summation of Series, Modèle:2e (révisée), Dover Publications, New York, 1961, lire en ligne.</ref>, avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 1961<ref>NF X 02-1 01 selon les tables numériques de J. Laborde, Modèle:P.VI, 1976.</ref> et ISO 80000-2<ref>ISO 80000-2:2009, Organisation internationale de normalisation.</ref> : la notation ln. Avec un succès cependant très relatif : la notation log est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres<ref>Voir par exemple cette note de Modèle:HardyWright (Modèle:6e éd., Oxford, 2008, 1.7) Modèle:Citation étrangère</ref>, ainsi que dans plusieurs langages de programmation, comme C, C++, SAS, R, MATLAB, Mathematica, Fortran, et BASIC.

Historique

Fichier:Table log 001 100 cinq decimales.svg

Table des logarithmes naturels de 0,01 à 100 avec cinq chiffres après la virgule.

Ce logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier qui établit les premières tables logarithmiques (lesquelles ne sont en fait pas des tables de logarithmes népériens<ref>Modèle:DahanPeiffer, Modèle:P.214.</ref>). On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité des fonctions logarithmes. Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en 1649<ref>Jean-Pierre Le Goff, « De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent », dans La démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Besançon.</ref>. Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé « logarithme hyperbolique », en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente<ref>Modèle:Lien web, Modèle:P.11.</ref>. L'appelation « logarithme naturel », due à Pietro Mengoli en 1659<ref>Modèle:Ouvrage. Références et liens collectés par Modèle:Lien web.</ref>, est reprise en 1668 dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom<ref>Modèle:Article. </ref>. Cette série, exploitée par Newton en 1671<ref>Méthode de Newton pour le calcul des logarithmes naturels, La méthode des fluxions et des suites infinies sur Gallica, Modèle:P.102-105.</ref>, permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent<ref>Modèle:Harvsp.</ref>. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et, naturellement, celui de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus naturel.

Fichier:Log-pole-x 1.svg

Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse

La fonction Modèle:Math est continue sur Modèle:Math. Elle admet donc des primitives dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :

<math>\forall x \in \R^*_+\quad\ln x=\int_1^x \frac1t~\mathrm dt.</math>

Étude de la fonction

• La fonction logarithme naturel est définie et dérivable (donc continue) sur Modèle:Math et pour tout réel Modèle:Math strictement positif,<math>\ln'x=\frac1x.</math>
• Puisque cette dérivée est strictement positive, le logarithme naturel est strictement croissant.
• Puisque cette dérivée est strictement décroissante, le logarithme naturel est strictement concave.
• Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont :<math>\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty.</math>C'est donc une bijection de Modèle:Math sur ℝ.
• Son nombre dérivé au point Modèle:Math (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées Modèle:Math) est :<math>\lim\limits_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}h=1.</math>

La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme

Le logarithme naturel vérifie la même équation fonctionnelle que toute fonction logarithme, à savoir : pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math strictement positifs,

<math>\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).</math>

En effet, pour Modèle:Math fixé, la fonction Modèle:Math (définie sur Modèle:Math) a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réelle Modèle:Math : Modèle:Math, avec Modèle:Math puisque Modèle:Math.

De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math strictement positifs :

• <math>\ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)</math>
• <math>\forall r\in\Q\quad\ln(a^r) = r \ln(a).</math>

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réel Modèle:Math strictement positif, le [[Logarithme|logarithme de base Modèle:Math]] en fonction du logarithme népérien :

<math>\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}.</math>

La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle

L'étude de la fonction logarithme naturel a montré que c'est une bijection de Modèle:Math dans ℝ. Sa bijection réciproque, de ℝ dans Modèle:Math, coïncide avec la fonction exponentielle, puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sa caractérisation ci-dessus. Modèle:Démonstration

Autrement dit :

<math>\forall x\in\R^\star_+\quad{\rm e}^{\ln(x)}=x\qquad\text{et}\qquad\forall y\in\R\quad\ln({\rm e}^y)=y,</math>

ce qui se résume en :

<math>\forall x\in \R^*_+,~\forall y\in\R\quad y=\ln x\Leftrightarrow x={\rm e}^y</math>

et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Cette relation permet d'exprimer toutes les autres [[Exponentielle de base a|fonctions exponentielles de base un réel Modèle:Math strictement positif]] par (pour tout réel Modèle:Math) :

<math>a^x={\rm e}^{x \ln(a)}.</math>

Cette définition coïncide évidemment avec celle de Modèle:Math pour Modèle:Math rationnel.

Développement en série

Fichier:Mercator series.svg

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator.

Fichier:Ln series positive real.svg

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série
<math>2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}.</math>

La fonction <math>\ln(x)</math> n'admet pas de développement en série de Taylor, ni même de Laurent autour de <math>0</math>.

C'est Nicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement en série entière de <math>\ln(1+x)</math>; le rayon de convergence de ce développement est Modèle:Math. On a donc la série de Taylor :

<math>\begin{align}

\forall x\in\left]-1,1\right[\quad\ln(1 + x) &=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^n}n\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\\ &=x\left(\frac11-x\left(\frac12-x\left(\frac13-x\left(\frac14-x\left(\frac15-\cdots\right)\right)\right)\right)\right). \end{align}</math> (Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

D'après la formule de Taylor-Lagrange<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> ou le théorème de convergence radiale d'Abel, ce développement est encore valide pour Modèle:Math. On obtient ainsi la somme de la série harmonique alternée.

D'autre part, notons que Leonhard Euler a hardiment appliqué ce développement à Modèle:Math<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, tome 1, Bousquet, Lausanne, 1748, exemple 1, Modèle:P. ; aussi dans Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, vol. 8, Teubner, 1922.</ref>. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de Modèle:Sfrac, c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par : Modèle:Citation ; plus précisément, les différences entre somme partielle de la série harmonique et logarithme naturel convergent vers la constante d'Euler-Mascheroni.

Pour obtenir une meilleure vitesse de convergence, on peut en déduire :

<math>\begin{align}

\forall x\in\left]-1,1\right[\quad\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) &=2x\left(\frac11+\frac13x^2+\frac15x^4+\frac17x^6+\frac19x^8+\cdots\right)\\ &=2x\left(\frac11+x^2\left(\frac13+x^2\left(\frac15+x^2\left(\frac17+x^2\left(\frac19+\cdots\right)\right)\right)\right)\right), \end{align}</math> qui se réécrit :

<math>\forall y\in\left]0,+\infty\right[\quad\ln(y)=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{2k+1}\left(\frac{y-1}{y+1}\right)^{2k+1}.</math>

Propriétés complémentaires

Étude des limites

Les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme naturel et d'une fonction puissance quelconque :

<math>\mathrm{pour~tout~r\acute eel~}\alpha>0,\qquad\lim\limits_{x \to 0^+} x^{\alpha}\ln(x) = 0\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}} = 0.</math>

Dérivée logarithmique

Modèle:Article détaillé Pour toute fonction réelle dérivable Modèle:Math, la fonction composée Modèle:Math (définie en tout point où Modèle:Math ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée

<math>\left(\ln\circ|u|\right)'=\frac{u'}u.</math>

Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction Modèle:Math. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

Primitive

En appliquant la formule d'intégration par parties au produit des fonctions <math>\ln</math> et <math>x\mapsto 1</math>, on obtient :

<math>\forall x>0\quad \int_1^x\ln{(t)}\ \mathrm dt=x\ln{(x)}-x+1</math>.

D'après le théorème fondamental de l'analyse, les primitives de <math> \ln </math> sont donc les fonctions de la forme

<math> x\mapsto x\ln{(x)}-x+k,\quad k\in\R</math>,

la plus simple étant la fonction <math>x\mapsto x\ln{(x)}-x</math>.

La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que Modèle:Math) s'est posée dès la seconde moitié du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur Modèle:Math avec la fonction logarithme népérien réelle.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réel Modèle:Math strictement positif, Modèle:Math, mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si l'on étudie la fonction Modèle:Math, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant la valeur absolue comme un module :

<math>\left|\ln(-a)\right| = \sqrt{\ln^2(a) + \pi^2}</math> pour Modèle:Math réel strictement positif.

Voir aussi

Articles connexes

• Exemple d'application du théorème de Gelfond-Schneider : ln(3)/ln(2) est transcendant
• Logarithme népérien de deux
• Logarithme binaire
• Logarithme discret
• Logarithme intégral
• Fonction W de Lambert

Liens externes

« Poser la modélisation comme question épistémologique pour l’introduction des propriétés des exponentielles dans les classes », conférence de Jean Dhombres : parties 1, 2 et 3

Une excellente vidéo en anglais expliquant l'origine des logarithmes naturels