Théorème de Gelfond-Schneider

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>, s'énonce de la façon suivante :

« Le » nombre α^β est à prendre ici au sens : Modèle:Math, où Modèle:Math est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de Modèle:Math.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2^{Modèle:Racine} (la constante de Gelfond-Schneider), Modèle:Racine^{Modèle:Racine}, ou encore Modèle:Math pour tout nombre réel algébrique non nul Modèle:Math (en posant Modèle:Math et Modèle:Math), par exemple Modèle:Math (la constante de Gelfond) ou Modèle:Math.

Mais par contraposée, on en déduit aussi : Modèle:Énoncé

Ainsi, l'irrationnel Modèle:Math est transcendant (en utilisant Modèle:Math).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème d'Hermite-Lindemann
• Théorème de Baker
• Conjecture de Schanuel

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article (cas où β est un irrationnel quadratique)
• Modèle:Article