Constante de Gelfond-Schneider

Modèle:Voir homonymes La constante de Gelfond-Schneider, mentionnée par David Hilbert comme exemple (avec la constante de Gelfond) dans [[Septième problème de Hilbert|son Modèle:7e problème]]<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, est :

<math>2^\sqrt2=2{,}665144142\ldots</math><ref>Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref>.

Rodion Kuzmin prouva en 1930<ref>Modèle:Article.</ref> que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme Modèle:Math^β avec Modèle:Math algébrique différent de 0 et de 1 et Modèle:Math irrationnel quadratique — est transcendant, et Aleksandr Gelfond généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le théorème de Gelfond-Schneider.

Sa racine carrée est le nombre transcendant

<math>\sqrt2^\sqrt2=1{,}6325269\ldots</math>

qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que (Modèle:Sqrt^Modèle:Sqrt)^Modèle:Sqrt = 2 (en utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion sans savoir que Modèle:Sqrt^Modèle:Sqrt est irrationnel).