Racine carrée

Modèle:Autre Modèle:À sourcer Modèle:Infobox Fonction mathématique</math> | réciproque = <math>x^2</math> | dérivée = <math>{1 \over 2\sqrt{x}}</math> | primitives = <math>{2 \over 3}x^{3 \over 2}+ C</math> | ensemble de définition = <math>\left[ 0,+\infty \right[</math> | ensemble image = <math>\left[ 0,+\infty \right[</math> | zéro = 0 | plusinf = <math>+\infty</math> | minima = 0 | zéros = 0 | points fixes = 0 et 1 }} Modèle:Infobox Caractère Unicode

En mathématiques élémentaires, la racine carrée d'un nombre réel positif Modèle:Math est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne Modèle:Math, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut Modèle:Math. On le note Modèle:Racine ou Modèle:Math. Dans cette expression, Modèle:Math est appelé le radicande et le signe <math>\sqrt{\quad}</math> est appelé le radical<ref>Collection Mistral, Mathématiques Modèle:3e, 1985, Modèle:P.</ref>. La fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la fonction racine carrée.

En algèbre et analyse, dans un anneau ou un corps Modèle:Math, on appelle racine carrée de Modèle:Math, tout élément de Modèle:Math dont le carré vaut Modèle:Math. Par exemple, dans le corps des complexes ℂ, on dira de Modèle:Math (ou de Modèle:Math) qu'il est une racine carrée de Modèle:Math. Selon la nature de l'anneau, et la valeur de Modèle:Math, on peut trouver 0, 1, 2 ou plus de 2 racines carrées de Modèle:Math.

La recherche de la racine carrée d'un nombre, ou extraction de la racine carrée, donne lieu à de nombreux algorithmes. La nature de la racine carrée d'un entier naturel qui n'est pas le carré d'un entier est à l'origine de la première prise de conscience de l'existence de nombres irrationnels. La recherche de racines carrées pour des nombres négatifs a conduit à l'invention des nombres complexes.

Histoire

Fichier:Ybc7289-bw.jpg

Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien. (crédits : Bill Casselman)

La plus ancienne racine carrée connue apparaît vers 1700 Modèle:Av JC sur la tablette YBC 7289. Il s'agit de la représentation d'un carré avec, sur un côté, le nombre 30 et, le long de la diagonale, une valeur approchée de Modèle:Racine.

Construction géométrique de la racine carrée

Fichier:Construction racine carree.png

AO = 1, OB = a, OH = Modèle:Racine

Modèle:Article détaillé La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment OB de longueur Modèle:Mvar, et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur Modèle:Racine :

• Construire le segment [AB] de longueur Modèle:Math et contenant le point O avec AO = 1
• Construire le cercle Modèle:Mvar de diamètre [AB].
• Construire la droite Modèle:Mvar perpendiculaire à (OB) et passant par O.
• Nommer H le point d’intersection du cercle Modèle:Mvar et de la droite Modèle:Mvar.

Le segment [OH] est de longueur Modèle:Racine.

La preuve consiste à remarquer que les triangles OAH et OHB sont semblables, d'où l'on déduit que Modèle:Math, et donc Modèle:Math.

Cette construction montre que la racine carrée d'un nombre constructible (par exemple un nombre rationnel positif) est encore un nombre constructible.

Fonction réelle

Fichier:Mplwp sqrt.svg

Représentation graphique de la fonction racine carrée.

L’application <math>x\mapsto x^2</math> est une bijection de ℝ₊ sur ℝ₊ dont la réciproque est notée <math>x\mapsto\sqrt x</math>. Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de l'un de ses côtés.

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y :

<math>\sqrt x=x^{\frac12}</math>

<math>\sqrt{x\times y}=\sqrt x\times\sqrt y</math>

<math>\sqrt{\frac xy}=\frac{\sqrt x}{\sqrt y}</math> (sous la condition Modèle:Math)

<math>\sqrt{x^2}=|x|</math>.

• Elle est strictement croissante, comme réciproque d'une bijection croissante sur ℝ₊.
• Elle est [[condition de Hölder|Modèle:Sfrac-höldérienne]]<ref>Modèle:Note autre projet</ref> donc uniformément continue.
• Elle est dérivable en tout réel strictement positif Modèle:Mvar, mais elle n’est pas dérivable en Modèle:Math. En ce point, la courbe représentative admet une demi-tangente verticale. Sa fonction dérivée est donnée par :

  <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}</math><ref>Modèle:Note autre projet</ref>.

• Elle est de classe Modèle:Math sur ℝ₊* :Modèle:Retrait.</math>}}
• Son développement en série de Taylor au point 1 est donc, pour tout réel Modèle:Math tel que |Modèle:Math| ≤ 1 :<math>\sqrt{1 - h} =1 - \sum_{n=1}^\infty a_n h^n\text{ avec }a_n ={(2n)! \over (n!)^22^{2n}(2n-1)}>0,</math>avec convergence normale sur [–1, 1] (voir le § « Développement en série entière » de l'article « Racine d'un nombre »). Les coefficients s'expriment comme quotients de nombres de Catalan par des puissances de 2 :<math>a_n=\frac{C_{n-1}}{2^{2n-1}}.</math>Les premières valeurs sontModèle:Retrait

Extraction de racines carrées

Modèle:Loupe Le calcul de la racine carré d'un nombre positif n'est pas toujours évident, notamment pour de grands nombres. Ainsi, plusieurs algorithmes ont été développés au cours de l'histoire afin d'obtenir ce nombre. Parmi les méthodes d'extraction de racine carrée, on peut citer notamment la méthode de Héron, qui est une méthode historique qui peut être vue d'un point de vue moderne comme un cas particulier de la méthode de Newton. D'autres méthodes sont basées sur des suites adjacentes, sur des fractions continues ou sur un principe de dichotomie.

Racines carrées particulières

Nombre d'or

Modèle:Voir Si p est un nombre réel strictement positif,

<math>\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{4p+1}}2</math>.

Pour p = 1, on obtient le nombre d'or :

<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>.

Nombres entiers supérieurs à 1 sous forme de racines carrées

Modèle:Voir Ramanujan a découvert les formules suivantes :

<math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\dots}}}=3</math> et <math>\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+\dots}}}=4</math>.

Ces formules se généralisent, ce qui donne en particulier, pour tout réel <math>n\ge0</math> :

<math>n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt\dots}}}</math> et <math>n+3=\sqrt{n+5+(n+1)\sqrt{n+6+(n+2)\sqrt{n+7+\dots}}}</math>.

Pi

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées :

<math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt2}}}}} \right )</math> , où k est le nombre de racines carrées emboitées

Ou encore :

<math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt3}}}}}} \right )</math>

(formules qui se démontrent par calcul trigonométrique direct : le terme de droite de la première, par exemple, vaut <math>2^k\sin(\pi/2^k)</math>).

Notion algébrique générale

Définition algébrique d'une racine carrée

Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux éléments d’un anneau Modèle:Mvar, tels que Modèle:Math. L'élément Modèle:Mvar est alors une racine carrée de Modèle:Mvar. La notation Modèle:Racine est néanmoins souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments Modèle:Mvar.

En général (si l'anneau n'est pas intègre ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'anneau ℤ/9ℤ, les racines carrées de Modèle:Surligner sont Modèle:Surligner, Modèle:Surligner et -Modèle:Surligner, et dans le corps gauche des quaternions, tout réel strictement négatif possède une infinité de racines carrées.

Dans le cas des nombres réels, un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments Modèle:Racine ou bien -Modèle:Racine. En revanche, l'expression la racine carrée de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression Modèle:Racine est toujours positive et le terme fonction racine définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrée, alors toujours positive.

Racines carrées de nombres complexes

Modèle:Article connexe La racine carrée sur ℝ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit<ref>Dans la résolution de l'équation du troisième degré, la méthode de Cardan s'applique formellement et donne des résultats réels, si l'on accepte d'introduire dans certains cas des racines carrées « imaginaires » de réels négatifs. Pour plus de détails, voir histoire des nombres complexes, et aussi la description des résultats de Bombelli.</ref> Modèle:Énoncé</math>. }}

Modèle:Démonstration</math>, ce qui, si z n'est pas un réel négatif, mène à la dernière formule. }}

Pour des raisons de nature topologique, il est impossible<ref>Cependant, on trouvera à l'article « Surface de Riemann » une façon de contourner cette difficulté.</ref> de prolonger la fonction racine carrée, de ℝ₊ dans ℝ₊, en une fonction continue <math>f:\Complex\rightarrow\Complex</math> vérifiant Modèle:Math.

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de ℂ toute fonction continue <math>f:U\rightarrow\Complex</math> vérifiant <math>f(z)^2=z</math>.

La détermination principale de la racine carrée est la fonction de ℂ dans ℂ ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique Modèle:Math avec Modèle:Math, alors on pose Modèle:Math. Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique Modèle:Math, cette définition se traduit par :

<math>f(a+ib)=\sqrt{\frac{\left|a+\mathrm ib\right|+a}2}\pm\mathrm i\sqrt{\frac{\left|a+\mathrm ib\right|-a}2}</math>

où le signe de la partie imaginaire de la racine est

• si Modèle:Math : le signe de Modèle:Mvar
• si Modèle:Math et Modèle:Math : le signe +
• si Modèle:Math et Modèle:Math : pas de signe (le nombre est nul).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation <math>\sqrt{zz'} = \sqrt{z}\sqrt{z'}</math> devient fausse en général.

Racines carrées de matrices et d’opérateurs

Si A est une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif B tel que B² = A. On pose alors : Modèle:Racine = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent davantage ces aspects.

Voir aussi

Lien externe

{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Suites concernant la racine carrée dans l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers (entre autres : développements décimaux des racines carrées des entiers de 2 à 99)

Bibliographie

• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} David Eugene Smith, History of Mathematics, vol. 2
• {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Modèle:2e éd., Penguin Books, London, 2000 Modèle:ISBN Modèle:Commentaire biblio
• Modèle:Ouvrage (ce chapitre, malgré son titre, porte sur les racines carrées)
• Modèle:Ouvrage