Pi

Fichier:Pi-unrolled slow.ogg

Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est Modèle:Math.

Modèle:Math (pi), appelé parfois constante d’Archimède<ref group=alpha>Pi est appelé parfois la constante d’Archimède en raison de la contribution d'Archimède au calcul de l'aire d'un disque ou d'une sphère, et parce qu'il a été le premier à donner une méthode d'encadrement de la valeur numérique de Pi.</ref>, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon.

Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10^–15 près<ref group=alpha>Valeur décimale exprimée sur 16 chiffres significatifs, soit la précision maximale (pour pi) d’un nombre flottant en double précision au format binaire sur 64 bits standard de l'IEEE, qui permet de stocker entre 15 et 17 chiffres décimaux significatifs (selon principalement la valeur du premier chiffre décimal et éventuellement les suivants) ; ce format binaire est utilisé dans de nombreux langages de programmation, par exemple dans le type double des langages C, C++, JavaModèle:Etc. ; il est aujourd’hui pris en charge nativement par la plupart des microprocesseurs modernes et des bibliothèques mathématiques.</ref> est 3,141592653589793 en écriture décimale<ref name="decimales1">Modèle:Nombre décimales de Modèle:Math.</ref><ref name="decimales2">{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Site permettant une recherche de chiffres dans les Modèle:Nombre décimales.</ref>.

De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques impliquent Modèle:Math, qui est une des constantes les plus importantes de cette discipline<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Le nombre Modèle:Math est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont Modèle:Math soit une racine<ref group=alpha>La preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann.</ref>.

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de Modèle:Math, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de Modèle:Grec ancien, « périphérie, circonférence », n’est apparu qu’au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

Définition et premières propriétés

Définition

Fichier:Cercle12CircArea.svg

On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un disque égale son demi-périmètre multiplié par son rayon.

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes<ref>Par exemple le Petit Robert ou le TLFi ; voir Modèle:CNRTL.</ref>, Modèle:Math est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif Modèle:Mvar, si un cercle possède un rayon Modèle:Mvar (ou un diamètre Modèle:Math) Modèle:Mvar fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre Modèle:Mvar sera aussi Modèle:Mvar fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aire Modèle:Mvar par le carré de Modèle:Mvar, ce qui prouve maintenant que le rapport Modèle:Math est constant. On peut montrer, par exemple par la méthode des indivisibles, que cette constante vaut également Modèle:Math.

Le dessin ci-contre illustre une autre méthode<ref>Modèle:Lien web.</ref>, essentiellement due à Archimède Modèle:Infra : le périmètre du polygone vaut à peu près Modèle:Math alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près Modèle:Math. Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de Modèle:Math.

Autres définitions

La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir Modèle:Math mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> définissent Modèle:Math par l'analyse réelle, parfois à l'aide des fonctions trigonométriques, mais introduites sans référence à la géométrie :

• Un choix fréquent est de définir Modèle:Math comme le double du plus petit nombre positif Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, où Modèle:Math peut être définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, ou comme la solution d'un problème de Cauchy.
• Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle complexe qui découlent de sa définition par une série entière et qui font que l’application Modèle:Nobr est un morphisme de groupes continu et surjectif de (ℝ, +) vers le [[Cercle unité#Cercle unité comme groupe|groupe (𝕌, ×) des complexes de module Modèle:Math]]. On démontre alors que l’ensemble des nombres réels Modèle:Mvar tels que Modèle:Math est de la forme Modèle:Mvarℤ où Modèle:Mvar est un réel strictement positif<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. On pose alors Modèle:Math. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.
• Le groupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant<ref>Modèle:Bourbaki-Topologie, Modèle:P..</ref> l’existence d’un morphisme de groupes topologiques Modèle:Mvar de (ℝ, +) vers (𝕌, ×), périodique de Modèle:Nobr, tel que Modèle:Math. Il démontre<ref>N. Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, Modèle:Chap., § 1, Modèle:N° et Modèle:N°.</ref> que Modèle:Mvar est dérivable et que sa dérivée en Modèle:Math est de la forme Modèle:Math pour un certain réel Modèle:Math, qu'il note Modèle:Math.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction Modèle:Nobr ou la fonction Modèle:Nobr.

• Mais on peut aussi définir Modèle:Math grâce au calcul intégral en posant<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>
  • <math>\frac\pi2=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ {\rm d}x</math>,
    ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de sommes de Riemann) l’aire d’un demi-disque de Modèle:Nobr,
    ou encore
  • <math>\frac\pi2=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}\sqrt{1-x^2}</math>,
    ce qui revient (par résolution de l'[[Équation différentielle d'ordre un à variables séparées#Cas particulier : l'équation autonome|équation différentielle Modèle:Math]]) à la définition ci-dessus de Modèle:Math comme le premier zéro de Modèle:Math.
    On retrouve également cette intégrale quand on cherche à calculer la longueur du quart de cercle de rayon 1 paramétré par <math> x \mapsto (x,\sqrt{1-x^2})</math><ref>Reinhold Remmert, « Le nombre Modèle:Math », dans Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert Modèle:ISBN, p. 124.</ref>.
    On peut également poser<ref> Daniel Leborgne, Calcul différentiel complexe, Presses universitaires de France, pp. 9-10 Modèle:Citation.</ref>
  • <math>\frac\pi2=\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm dx}{1+x^2}</math>,
    en relation avec le théorème des résidus, où Modèle:Math est l'unique valeur telle que, pour tout lacet Modèle:Mvar rectifiable à un tour autour de Modèle:Math, <math>\int_\gamma \frac{\mathrm dz}{z-z_0}~=2\mathrm i\pi</math>.

• Ou bien à l’aide du dénombrement, en notant Modèle:Math le nombre de couples d’entiers naturels Modèle:Math tels que Modèle:Math et en définissant :
  <math>\frac{\pi}4=\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}</math>,
  ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.

Irrationalité

Modèle:Article détaillé Le nombre Modèle:Math est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire Modèle:Math où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, est persuadé que Modèle:Math est irrationnel<ref>Modèle:Lien web.com.</ref>. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle.

Ce n’est cependant qu’au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle que Jean-Henri Lambert prouve ce résultat. Il expose, en 1761<ref>Modèle:Article, Modèle:Lien web.</ref>, un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de Modèle:Math, avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers non nuls, s’écrit<ref group=alpha>Pour plus de détails voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π.</ref> : Modèle:Retrait}}}</math>.}}

Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand Modèle:Mvar est un rationnel non nul, Modèle:Math est irrationnel. Or, Modèle:Math vaut Modèle:Math ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que Modèle:Math n’est pas rationnel.

Au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Lien web.</ref>. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite<ref name="Hermite">Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>, avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref name=Mayer/>.

Transcendance

Non seulement le nombre Modèle:Math est irrationnel (voir section précédente), mais il est transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont Modèle:Math soit une racine<ref name=Mayer>Modèle:Lien web.</ref>.

C'est au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le [[e (nombre)|Modèle:Nobr]], est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors Modèle:Math^x est transcendant. Or Modèle:Math est algébrique (puisqu'il est égal à –1). Par contraposition, Modèle:Math est transcendant, donc comme Modèle:Math est algébrique, Modèle:Math est transcendant.

Une conséquence historiquement importante de la transcendance de Modèle:Math est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

De façon plus anecdotique, le fait que Modèle:Math soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque par Modèle:Math droites concourantes formant toutes entre elles des angles de Modèle:Sfrac radians, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement si Modèle:Mvar est impair<ref>Modèle:Article</ref><ref>Modèle:Ouvrage</ref><ref group = alpha>Ce résultat a été raffiné depuis et est devenu le théorème de la pizza.</ref>.

Représentation décimale

Les 16 premiers chiffres de l'écriture décimale de Modèle:Math sont Modèle:Formatnum (pour davantage de décimales, voir les liens externes<ref name="decimales1" /><ref name="decimales2" /><ref name=oeisA000796>Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS : page donnant 20 000 décimales de Pi et liens vers d'autres sites.</ref>). En 2013 on connaît plus de douze mille milliards de décimales de Modèle:Math<ref>Modèle:Article.</ref>, en 2022 cent mille milliards (10¹⁴)<ref>Modèle:Article.</ref>.

Les applications concrètes, telles que l'estimation de la circonférence d'un cercle, n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres. En 1881, Simon Newcomb explique ainsi que Modèle:Citation<ref>Modèle:Lien web</ref>. Dans les années 1990, la représentation décimale de Modèle:Nombre à Modèle:Nombre était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'un diamètre du même ordre de grandeur que la taille de l'univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'un atome d'hydrogène<ref>Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>, compte tenu des estimations alors en vigueur. En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de Modèle:Nb (soit Modèle:Unité) et une précision de la longueur de Planck, il suffit d'environ 60 décimales<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Puisque Modèle:Math est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique à partir d'un certain rang. La suite des décimales de Modèle:Math a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article « Nombre premier issu de troncature de constante »).

Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.

Par ailleurs, le développement décimal de Modèle:Math ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir si Modèle:Math est un nombre normal, c’est-à-dire que ses successions finies de chiffres en écriture décimale sont équiréparties. A fortiori, Modèle:Math serait alors un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions<ref name="Conférence Delahaye">Conférence de Jean-Paul Delahaye, Le nombre pi est-il simple ou compliqué ?, 3 octobre 2006, Cité des sciences.</ref>.

Représentation fractionnaire

Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher Modèle:Math dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) : Modèle:Retrait

Modèle:Refnec.

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires (Histoire, Approximation numérique, fractions continues et [[#Mémorisation de π|Mémorisation de Modèle:Math]]).

Approximation de Modèle:Math

On peut trouver une valeur approchée de Modèle:Math de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre Modèle:Mvar d’un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit<ref name="NOVA">Modèle:Lien web.</ref>. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de Modèle:Math.

Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à Modèle:Nombre, à déterminer<ref name=Beckmann>Modèle:Ouvrage.</ref> que Modèle:Math.

On peut également obtenir des valeurs approchées de Modèle:Math en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer Modèle:Math se basent sur la trigonométrie et le calcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la « formule de Leibniz »<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> Modèle:Infra : Modèle:Retrait

Cette série converge si lentement que pour calculer Modèle:Math avec une précision de six décimales il faut presque deux millions d'itérations. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers Modèle:Math beaucoup plus rapidement, en posant : Modèle:Retrait et en définissant : Modèle:Retrait2\text{ pour tout }i,j\ge1.</math> }}

Le calcul de Modèle:Math_10,10 demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les Modèle:Nombre termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car Modèle:Math_10,10 = 3,141592653… approche Modèle:Math avec neuf décimales exactes<ref group=alpha>Pour plus d’information sur des méthodes analogues, voir « Formule d'Euler-Maclaurin ».</ref>. On trouvera plus loin des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.

Histoire

L’histoire ancienne de Modèle:Math, qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble<ref name=Beckmann/>. Certains auteurs divisent l’histoire de Modèle:Math en trois parties : la période antique durant laquelle Modèle:Math a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans la connaissance du nombre Modèle:Math, et la période des ordinateurs numériques<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Antiquité

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de Modèle:Nombre Modèle:Av JC et découvertes en 1936<ref>Tablettes de Suse — voir par exemple « Pi et racine de 2 chez les babyloniens », sur le blog cer1se.free.fr/principia.</ref> présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de Modèle:Math de 3 + 1/8<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Fichier:Calculation of pi by Ahmes.svg

Ce recouvrement imparfait de l'aire du disque par un octogone peut conduire à une approximation de l'aire du disque, et donc du nombre Modèle:Math.

Découvert en 1858<ref>Modèle:Lien web</ref>, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de Modèle:Math de 256/81.

Une justification possible de celle-ci s'appuie sur un schéma, figurant dans le problème 48 du Papyrus Rhind et que l'on peut interpréter comme le schéma ci-contre<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Si le disque a pour Modèle:Nobr l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de Modèle:Nobr Cet octogone a pour Modèle:Nobr l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré de Modèle:Nobr Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)², c'est-à-dire 256/81. Mais Annette Imhausen, historienne des mathématiques de l'Égypte antique, considère que l'on ne peut rien tirer de ce schéma, présent dans ce qui s’apparente à un manuel scolaire et non à une note de recherche<ref>Modèle:Chapitre</ref> .

Vers 700 Modèle:Av JC, le texte indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de Modèle:Math : 25/8 (= 3,125) et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20)<ref>Modèle:Article.</ref>. Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139)<ref>Modèle:Chapitre.</ref>. Au début du Modèle:Sap-, Aryabhata donne une approximation plus précise : Modèle:Sfrac = 3,1416. Comme Modèle:Nobr il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10Modèle:-5 près.

Une approximation de Modèle:Math est également donnée en creux dans la Bible, au Premier Livre des Rois, vraisemblablement écrit au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JC Il est fait mention d'un bassin de 10 coudées de diamètre, dont une corde de 30 coudées peut faire le tour, conduisant à une valeur de Modèle:Math = 3<ref>Modèle:Réf Bible : Modèle:Citation </ref>.

C'est dans le traité d'Archimède (287 à 212 Modèle:Av JC) intitulé De la mesure du cercle que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre<ref name="DeLaMesureDuCercle">Voir une traduction du texte original.</ref>.

Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde<ref>Calcul infinitésimal - l'œuvre d'Archimède, Encyclopædia Universalis.</ref>. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

• Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit.

  Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit.

• Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit.

  Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit.

• Découpage du cercle en 8 portions.

  Découpage du cercle en Modèle:Nombre.

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.

Fichier:PiCamembert2.svg

Déroulement des Modèle:Nombre.

Dans le même traité<ref name="DeLaMesureDuCercle"/>, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant Modèle:Nombre<ref name="ahop">Modèle:MacTutor</ref>. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 < Modèle:Math < 3 + 1/7<ref name="ahop" />. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à Modèle:Nombre car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de <math>\frac{377}{120} \approx 3,14166 \dots</math>, qu'il a pu obtenir grâce à Apollonios de Perga<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.

Fichier:PiArchimedeBis.svg

Propriété de la bissectrice.

Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S Modèle:Retrait

Fichier:PiArchimede3.svg

Polygone circonscrit.

Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-contre, <math>c_1</math> et <math>c_2</math> sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que Modèle:Retrait Modèle:Retrait et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone.

Fichier:PiArchimede4.svg

Polygone inscrit.

Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, <math>c_1</math> et <math>c_2</math> sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que

Modèle:Retrait Modèle:Retrait On peut montrer ainsi que les périmètres <math>p_n</math> et <math>P_n</math> des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout de n étapes (soit, dans le cas d'Archimède qui commence avec un hexagone, des polygones à 6×2ⁿ côtés) vérifient les relations de récurrence suivantes : Modèle:Retrait = \frac12 \left(\frac1{p_n} + \frac1{P_n}\right),\quad p_{n+1} = \sqrt{p_nP_{n+1Modèle:Boîte déroulante/fin</math>.}} Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations Modèle:Infra.

La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de n = 4 étapes (96 côtés), à l'encadrement souhaité. }}

Fichier:Liuhui Pi Inequality.svg

Encadrement de Liu Hui.

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de Modèle:Math, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de Modèle:Math de 3,1416<ref>Modèle:ChemlaShuchun, Modèle:P.144-147.</ref>. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de Modèle:Math<ref>Dans son texte Zhui Shu, d'après Modèle:MacTutor</ref> : Modèle:Nobr (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la Modèle:6e, Modèle:Nobr et Modèle:Nobr) et montre que Modèle:Nobr<ref>Modèle:Harvsp.</ref>, en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygone à Modèle:Nombre. Cette valeur demeure la meilleure approximation de Modèle:Math au cours des Modèle:Nombre qui suivent.

Formules et calculs jusqu’en 1900

Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de Modèle:Math n’excédait pas les Modèle:Nombre. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher Modèle:Math avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le développement de la fonction arc tangente (redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref group=alpha>Attribuée souvent à Leibniz mais découverte probablement antérieurement par Gregory, voir Modèle:MacTutor, cette formule avait d'abord été trouvée par Madhava, mais cette découverte resta inconnue du monde occidental.</ref>) : Modèle:Retrait{2k+1}\quad (x \in \left[-1,1\right]).</math> }} Le cas particulier Modèle:Math est la série de Leibniz mentionnée plus haut — également connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz<ref> Modèle:Ouvrage.</ref><ref>Modèle:Article.</ref> — dont la convergence est trop lente.

Le cas particulier Modèle:Math : Modèle:Retrait converge bien plus vite, ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée de Modèle:Math de 3,141 592 653 59, qui a Modèle:Nombre correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors du Kerala jusqu'au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, à la suite de la conquête de l'Inde par les Britanniques. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi (Traité de la circonférence), qui a réussi à donner Modèle:Nombre, en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de Modèle:Nobr

La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par François Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son Canon mathématique en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne Modèle:Nombre en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de Modèle:Math correcte à Modèle:Nombre près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Il est immédiatement suivi par Willebrord Snell, son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète : Modèle:Retrait2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math> }}

exposée par Viète Modèle:Référence souhaitée en 1593, dans ses Problèmes variés. Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis : Modèle:Retrait

que l’on doit à John Wallis, qui l’a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de Modèle:Nobr<ref name="Pi_chronology">Modèle:MacTutor</ref> pour calculer Modèle:Nombre de Modèle:Math ; bien plus tard, il a déclaré : Modèle:Citation

En 1706, John Machin a été le premier à trouver Modèle:Nombre de Modèle:Math, en utilisant la formule : Modèle:Retrait et le développement ci-dessus en série entière de Modèle:Math.

Fichier:William Shanks PI.png

Première approximation de Modèle:Math calculée par William Shanks en 1853, incluant les 80 décimales incorrectes.

Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues de Modèle:Math, et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer Modèle:Math grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodige Johann Dase qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé Modèle:Nombre de Modèle:Math, à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle est due à William Shanks, qui a passé quinze ans à calculer Modèle:Nombre puis Modèle:Nombre de Modèle:Math, bien qu’à cause d’une erreur, seules les Modèle:Nombre étaient correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle ont amené les mathématiciens à s’interroger sur la nature de Modèle:Math, notamment sur l’absence de motifs périodiques dans ses décimales, une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l’irrationalité de Modèle:Math, par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que Modèle:Math aussi était irrationnel. Cette constante (Modèle:Math) jouait un rôle notable en mathématique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de <math>\sum^\infty_{k=1}\frac1{k^2}=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots\!</math> qui est Modèle:Math (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre Modèle:Math et les nombres premiers).

Origine de la notation

C’est au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle que s’établit l’usage de la lettre grecque « Modèle:Math », première lettre du mot grec Modèle:Grec ancien, « périphérie, circonférence », pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre<ref name="cajori">Modèle:Cajori, Modèle:Vol., Modèle:P., Modèle:Numéros, Modèle:Google Livres.</ref>.

À partir du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, certains mathématiciens utilisent la notation Modèle:Math où Modèle:Math désigne la circonférence et Modèle:Math le diamètre<ref group=alpha>La notation n'est pas utilisée exclusivement, et de plus à des variantes près pour noter le rapport, voir Cajori, ouvrage cité.</ref>. Le premier à utiliser simplement Modèle:Math est William Jones<ref name="cajori" /> dans son livre Modèle:Lang publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones<ref group=alpha>Rien n’indique si c’est sous l’influence de celui-ci ou de son propre chef, Modèle:Cf. Cajori.</ref> dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre Modèle:Lang publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle<ref group=alpha>On la trouve par exemple dans Les Éléments de géométrie de Legendre, un ouvrage plutôt destiné à un public scolaire, paru en 1794 ; Modèle:Cf. Cajori.</ref>.

Ère informatique

Alors que quelques dizaines de décimales de Modèle:Math sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre Modèle:Math n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.

En 1949, à l’aide de l’ENIAC, John von Neumann a obtenu 2 037 décimales de Modèle:Math, à la suite d'un calcul qui a duré Modèle:Nombre<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir Modèle:Math ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique<ref name="rad">Modèle:Lien web.</ref>. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> : Modèle:Retrait\!</math> }}

Modèle:AncreLa formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 : Modèle:Retrait{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math> }}

Cette formule donne Modèle:Nombre décimales de Modèle:Math à chaque terme<ref name="rad"/>. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de Modèle:Math calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer Modèle:Math sur des ordinateurs personnels.

Fichier:LemniscateB.png

Lemniscate de Bernoulli.

Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de Modèle:Math avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Modèle:Lien ont découvert indépendamment la formule de Brent-Salamin, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape<ref name="brent">Modèle:Chapitre.</ref>. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique M(1, Modèle:Racine) de 1 et Modèle:Racine — la longueur de la lemniscate de Bernoulli — et Modèle:Math. La longueur de la lemniscate est Modèle:Math où Modèle:Mvar représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où Modèle:Mvar est la constante de la lemniscate. Si on note Modèle:Mvar, la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1, Modèle:Racine) alors : Modèle:Retrait Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de Modèle:Math va alors avancer conjointement avec celle des décimales de Modèle:Racine<ref name=LR>La Recherche, n^o 392, décembre 2005, « L’indispensable nombre Modèle:Math », Modèle:Référence incomplète.</ref>.

L’algorithme consiste à poser : Modèle:Retrait puis à définir les relations de récurrence suivantes : Modèle:Retrait Modèle:Retrait et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar soient assez proches. On a alors une valeur approchée de Modèle:Math donnée par : Modèle:Retrait

En utilisant cet algorithme, seules Modèle:Nombre sont nécessaires pour calculer Modèle:Nombre de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein<ref name=BBB/>. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999, Yasumasa Kanada et ses associés ont battu le record du nombre de décimales de Modèle:Math à onze reprises (plus de 2×10¹¹ décimales en 1999)<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de Modèle:Math<ref name="bbpf">Modèle:Article.</ref>. La formule, Modèle:Retrait est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de Modèle:Math en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents<ref name="bbpf"/>. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000^e chiffre en binaire de Modèle:Math, qui s’est révélé être 0<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Si une formule de la forme : Modèle:Retrait \frac{p(k)}{q(k)},</math> }} était trouvée, avec b et c des entiers positifs et p et q des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de Modèle:Math en base b^c (et donc en base b) sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.

En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir Modèle:Math<ref>Modèle:Lien web puis février 2011 .</ref>. En posant q = Modèle:Math (constante de Gelfond), on a : Modèle:Retrait Modèle:Retrait ainsi que : Modèle:Retrait où k est un nombre impair, et Modèle:Math sont des nombres rationnels.

Depuis 2010, les records utilisant le programme Modèle:Lang se succèdent (voir la [[Approximation de π#XXIe siècle|section « Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle » de l'article « Approximation de Modèle:Math »]]). Fin 2016, le record dépasse 2×10¹³ décimales.

Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées, Emma Haruka Iwao, au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 121 jours<ref>Modèle:Lien web</ref> de calculs ininterrompus à Emma Haruka Iwao pour l'obtenir et ainsi entrer dans le livre Guinness des records<ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Le 9 juin 2022, ce record est à nouveau battu par Emma Haruka Iwao, calculant cette fois cent mille milliards de décimales<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Calcul de cent trillions de décimales de pi sur Google Cloud </ref>.

Utilisation en mathématiques et en sciences

Géométrie

Modèle:Math apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :

Forme géométrique	Formule
Circonférence d’un cercle de rayon r et de diamètre d	<math>C = 2 \pi r = \pi d \,\!</math>
Aire d’un disque de rayon r	<math>A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \,\!</math>
Aire d’une ellipse de demi-axes a et b	<math>A = \pi a b \,\!</math>
Volume d’une boule de rayon r	<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!</math>
Aire d’une sphère de rayon r	<math>A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!</math>
Volume d’un cylindre de hauteur h et de rayon r	<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
Aire latérale d'un cylindre de hauteur h et rayon r	<math>A = 2 \pi r h\,\!</math>
Volume d’un cône de hauteur h et de rayon r	<math>V = \frac13\pi r^2 h \,\!</math>
Aire latérale d’un cône de hauteur h et de rayon r	<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\,\!</math>

Modèle:Math se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de trois dimensions).

Nombres complexes

Fichier:Euler's formula.svg

La formule d’Euler illustrée dans le plan complexe. Une augmentation de l’angle φ de Modèle:Math radians (180°) donne l’identité d’Euler.

Un nombre complexe Modèle:Mvar peut s’exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante : Modèle:Retrait

L’apparition fréquente de Modèle:Math en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d’Euler : Modèle:Retrait} \right )</math> (k est le nombre de racines carrées) }} ou encore : Modèle:Retrait}}} \right )</math> }}

Une autre expression de s_2^k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par Modèle:Racine), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593) : Modèle:Retrait\cdot \frac2{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots</math> }}

Sommes et produits infinis

• <math>\frac11- \frac13+ \frac15- \frac17+ \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}4</math> (formule de Madhava, Gregory et Leibniz)
• <math>\frac21\cdot \frac23\cdot \frac43\cdot \frac45\cdot \frac65\cdot \frac67\cdot \frac87\cdot \frac89\cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}</math> (produit de Wallis)
• <math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math> (formule due à Ramanujan)
• <math> \frac1{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math> (formule due à David et Gregory Chudnovsky)
• <math>\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}\right)^2</math> (!! = double factorielle, formule due à Forsyth et Ramanujan<ref>Modèle:Lien web.</ref>)

Suites récursives

Suite inspirée de la formule de Brent-Salamin (1975) :

Soient trois suites Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math définies simultanément par : Modèle:Retrait on a : Modèle:Retrait

Le nombre de décimales correctes (en Modèle:Nobr) double presque à chaque itération.

Fonction zêta de Riemann

• <math>\zeta(2) = \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots + \frac1{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}6</math> (Euler)
• <math>\zeta(4)= \frac1{1^4} + \frac1{2^4} + \frac1{3^4} + \frac1{4^4} + \cdots + \frac1{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>,

Plus généralement, Euler démontra que ζ(2n) est un multiple rationnel de Modèle:Math pour tout entier positif n.

Suite logistique

Soit Modèle:Math la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre Modèle:Math = 4 appliquée à un réel Modèle:Math choisi dans l’intervalle Modèle:Nobr (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout Modèle:Math ≥ 0, <math>x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)</math>). La suite Modèle:Math quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.

On a <math> \lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\quad </math> pour presque toutes les valeurs initiales Modèle:Math.

Intégrale

Le nombre Modèle:Math apparait également comme étant le double de la limite du sinus intégral à l’infini : Modèle:Retrait

Probabilités et statistiques

En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante Modèle:Math, dont :

• la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ, dont la densité de probabilité s’écrit<ref>Modèle:MathWorld.</ref> : Modèle:Retrait
• la loi de Cauchy, dont la densité de probabilité est<ref>Modèle:MathWorld.</ref> : Modèle:Retrait

Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.

• <math>n! = \Gamma(n + 1)\sim\sqrt{2 \pi n}\,\left(\frac n{\rm e}\right)^n</math> (formule de Stirling)
• <math>\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x=\sqrt{\pi}.</math>

D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes où Modèle:Math intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, à déterminer une approximation de Modèle:Math.

L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur a, lancée sur un parquet fait de lattes de Modèle:Nobr, soit à cheval sur deux lattes. Cette probabilité p est<ref name="bn">Modèle:MathWorld.</ref> : Modèle:Retrait même si l'aiguille est courbe<ref>Modèle:Lien web.</ref><ref>Modèle:Article.</ref>.

Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de Modèle:Math : Modèle:Retrait où Modèle:Mvar est le nombre d’aiguilles lancées, et Modèle:Mvar celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.

Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de Modèle:Math expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers<ref name="bn" />, et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs L et a va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de Modèle:Math. Par exemple, une différence de mesure d’un seul atome sur une aiguille de longueur de Modèle:Nombre va se retrouver dès la neuvième décimale de Modèle:Math. En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.

Fichier:Monte-Carlo01.gif

Évaluation de Modèle:Math par la méthode de Monte Carlo.

La méthode de Monte Carlo<ref>Modèle:Lien web.</ref> est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre au hasard un point dans un carré de Modèle:Nobr, la probabilité que ce point soit dans le quart de disque de Modèle:Nobr est Modèle:Math ; cela peut se comprendre facilement étant donné que l'aire du quart du disque est Modèle:Math alors que celle du carré est Modèle:Math.

Propriétés diverses

Approximations numériques

Comme Modèle:Math est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de Modèle:Math utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher Modèle:Math avec une erreur aussi petite que l’on veut<ref>Modèle:MathWorld.</ref>, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de Modèle:Math.

Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de Modèle:Math.

La première approximation numérique de Modèle:Math fut certainement 3<ref name="ahop" />. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.

Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 (Modèle:Nombre significatifs) ou 3,14159 (Modèle:Nombre significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et Modèle:Nombre significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture en fraction continue de Modèle:Math. Cependant c’est le mathématicien chinois Zu Chongzhi (祖沖之 en sinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, Zǔ Chōngzhī en piyin) (429-500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à 12 288 côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.

L’approximation de Modèle:Math en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement Modèle:Nombre au numérateur et au dénominateur. L’approximation 103 993 / 33 102 (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : cela vient de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de Modèle:Math<ref name="gourdon">Modèle:Lien web.</ref>.

Constantes approchées prédéfinies en informatique

Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur 64 bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de son sinus retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard <math.h> utilisé en langage C ou C++ définit la constante M_PI en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de 3,141592653589793 (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le type long double). La même valeur est utilisée en langage Java, qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standard java.lang.Math.PI<ref>La constante standard java.lang.Math.PI prédéfinie en double précision en langage Java.</ref>). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.

Sur des microprocesseurs de la famille x86, les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le type long double mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision de Modèle:Math à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou quad) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constante Modèle:Math avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).

Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le type float), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à 3,141593 et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).

Fractions continues

La suite des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de Modèle:Math ne fait apparaître aucun schéma évident<ref name="ReferenceA">Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS.</ref> : Modèle:Retrait}}}}}}}}}} </math> }}

Cependant :

• <math>\pi^4=97+\textstyle \frac1{2+\textstyle\frac1{2+\textstyle\frac1{3+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{16539+\dots}}}}}

</math>.
En tronquant ce développement juste avant le quotient partiel brusquement plus grand que les précédents (Modèle:Nombre), on obtient la célèbre approximation de Ramanujan<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> <math>\pi\approx\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}</math>, qui donne Modèle:Math à 10^–8 près.

• il existe des fractions continues généralisées représentant Modèle:Math dont la structure est régulière :Modèle:Retrait}}}}</math><ref>Formule de Brouncker.</ref><math>=

3+\textstyle\frac{1^2}{6+\textstyle\frac{3^2}{6+\textstyle\frac{5^2}{6+\textstyle\frac{7^2}{6+\textstyle\frac{9^2}{6+\cdots}}}}}</math><ref group=alpha>Fraction découverte par Modèle:Article. Se déduit en fait d'une série de Nilakantha, par la formule de fraction continue d'Euler.</ref><math>=\textstyle\frac4{1+\textstyle\frac{1^2}{3+\textstyle\frac{2^2}{5+\textstyle\frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle\frac{5^2}{11+\cdots}}}}}}</math><ref group=alpha>Par évaluation en 1 d'un développement de arctan.</ref><math>=2+\tfrac2{1+\tfrac1{1/2+\tfrac1{1/3+\,\cdots+ \tfrac1{1/n+\,\cdots}}}}</math><ref group=alpha>Par transformation du produit de Wallis : Modèle:Harvsp.</ref><ref>Ces représentations et d'autres sont disponibles sur le site functions.wolfram.com.</ref>.}}

Questions ouvertes

De nombreuses questions se posent encore : Modèle:Math et Modèle:Math sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple Modèle:Nobr soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que Modèle:Math est transcendant<ref name=LR/> et en 1996, Youri Nesterenko prouve que Modèle:Math et Modèle:Math sont algébriquement indépendants.

Comme dit précédemment, on ignore encore si Modèle:Math est un nombre normal, ou même un nombre univers en [[Système décimal|Modèle:Nobr]].

Culture populaire

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique<ref name=BBB>Voir par ex. Modèle:Harvsp.</ref>. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de Modèle:Math fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe que Modèle:Math est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques<ref>Par ex. {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} MSNBC, Modèle:Lang, 3 juillet 2005 ; Modèle:Article ; Modèle:Article ; Modèle:Article.</ref>.

Un lac du Canada, situé au Québec dans le territoire non organisé de Rivière-aux-Outardes, porte le nom de Lac 3.1416.

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de Modèle:Math dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation américaine, est donc appelé la journée de pi.

Modèle:Math dans l’art

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre Modèle:Math dans les pyramides et, plus précisément, que Modèle:Math est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides<ref>Voir par exemple Le Secret de la Grande Pyramide, de Georges Barbarin.</ref>. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de Modèle:Math, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de Modèle:Math. Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr<ref>Selon Modèle:ArticleModèle:Référence incomplète, Modèle:Citation.</ref> puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de Modèle:Math.

Il est en tout cas certain que Modèle:Math est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, <math>\pi</math> joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de Modèle:Math, placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.

Sur le plan cinématographique, Modèle:Math a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l’on doit notamment Modèle:Lang. [[Pi (film)|Modèle:Math]] est un Modèle:Lang mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers de Modèle:Lang ou encore le véritable nom de Dieu.

Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album Modèle:Lang, qui contenait le morceau « Modèle:Math », dont les paroles sont principalement composées des décimales de Modèle:Math<ref>Modèle:Article.</ref>.

Mémorisation de Modèle:Math

Fichier:PiDigits.svg

Les récentes décennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de décimales de Modèle:Math mémorisées.

Au-delà de la mémorisation de Modèle:Math, usuellement ses 3 à Modèle:Nombre chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 (Modèle:Nombre significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales de Modèle:Math a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le Modèle:Date, à Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet récite (en Modèle:Nombre, Modèle:Nombre et Modèle:Nombre) Modèle:Nombre. Le record de mémorisation de Modèle:Math reconnu en 2005 par le Livre Guinness des records était de Modèle:Nombre (Lu Chao, un jeune diplômé chinois<ref>Modèle:Lien web.</ref>, en Modèle:Nombre et Modèle:Nombre<ref>Modèle:Article.</ref>). En octobre 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, récite Modèle:Nombre de Modèle:Math en Modèle:Unité et demie<ref name="japantimes">Modèle:Article.</ref>, mais cet exploit n'est pas validé par le Guinness des records. Le record officiel passe en mars 2015 à 70 000 décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à 70 030 en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien)<ref>Modèle:Article.</ref>.

Le 17 juin 2009, Modèle:Lien, un neurochirurgien et professeur ukrainien, affirma avoir mémorisé Modèle:Nombre de décimales de Modèle:Math, qui ont été imprimées en Modèle:Nombre<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lang.</ref>. Bien qu’il n’ait pas récité les Modèle:Nombre de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimésModèle:Référence souhaitée. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le Guinness des records amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmationModèle:Référence souhaitée.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de Modèle:Math, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple<ref>Publié par The Academy, d’après la Revue scientifique, 2 septembre 1905, n°10, p. 316. Les quatre premiers vers sont déjà connus en 1841, et apparaissent dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste. Pour une variante, voir Pi - Supplément au Petit Archimède n^o 64-65, mai 1980, Modèle:P., ou Modèle:Note autre projet</ref> :

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme la méthode des loci<ref>Modèle:Article.</ref><ref>Modèle:Article Modèle:PMID.</ref>.

The Tau Manifesto

En 2001, le mathématicien Robert Palais écrit l'article Modèle:Lang, dans lequel il estime que la constante est mal définie et devrait être posée comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, amenant sa valeur numérique à 6,2831853071795..., dans un souci de simplification des formules usuelles qui feraient intervenir plus souvent Modèle:Math que Modèle:Math<ref>Modèle:Article</ref>. Michael Hartl a repris ses arguments dans le Tau Manifesto, dans lequel il propose de privilégier l'usage d'une nouvelle constante, Modèle:Math<ref>Modèle:Lien web</ref>. Depuis, des défenseurs de Modèle:Math ont créé le Tau day au 28 juin (6/28) en concurrence avec le Pi day du 14 mars (3/14)<ref>Modèle:Lien web</ref>.

Voir aussi

Bibliographie

• Éliette Abécassis, Le Palimpseste d’Archimède (roman), Albin Michel Modèle:ISBN
• Modèle:Ouvrage
• Numéro spécial Modèle:Math, Supplément au Petit Archimède, n^o 64-65, mai 1980
• Modèle:Ouvrage. Traduction : À la poursuite de Modèle:Math, Vuibert, 2006 Modèle:ISBN
• Modèle:Le fascinant nombre π
• Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Modèle:Math, Hermann, Paris, 1999 Modèle:ISBN, Modèle:Google Livres
• Modèle:Chapitre, traduction française et adaptation de François Guénard : « Le nombre Modèle:Math », dans Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert Modèle:ISBN
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Approximation de π
• Journée de pi
• Modèle:Lien
• PiHex
• Projet de loi pi de l'Indiana
• 22 / 7 dépasse π

Liens externes

• "L'odyssée de Pi", La Méthode Scientifique, France Culture, le 14 mars 2019
• Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans pi314.net
• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld
• Les décimales de pi, sur images des Maths
• Modèle:Lien web
• Jean Brette et Jean-François Ternay, Le nombre Pi, lire en ligne https://images.cnrs.fr/video/1116