Volume
Modèle:Infobox Grandeur physique Modèle:Voir homonymes Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.
- En physique :
- le volume d'un objet ou d'une figure géométrique tridimensionnelle et fermée mesure l'extension dans l'espace physique qu'il ou elle possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure l'extension qu'elle possède dans les deux directions en même temps ;
- par extension, on étend la notion de volume à des espaces abstraits, dont les coordonnées peuvent avoir une ou des dimensions autres que celle d'une longueur<ref group=alpha>Par exemple, un volume de l'espace des phases d'une particule <math>\{x,y,z,v_x,v_y,v_z\}</math> s'exprime en Modèle:Unité (ou Modèle:Unité).</ref>.
- En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace géométrique est sa mesure au sens de la théorie de la mesure de Lebesgue.
Mesure du volume
- Le volume physique se mesure en mètre cube dans le Système international d'unités. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides et pour des matières sèches. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression.
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires <math>(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)</math> se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs :
Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.
Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.
Grandeur physique
Le volume est une grandeur additive : le volume d'un système physique est la somme des volumes de ses parties. Ce n'est en revanche pas une grandeur algébrique : physiquement, il n'existe pas de « volume négatif » (dont serait fait le sac de voyage de Mary Poppins) dont la superposition avec un système physique de volume positif donnerait un système composé de volume globalement nul, ou du moins réduit : tous les volumes sont de même signe, et par convention, sont comptés positivement. C'est pour cette raison que dans la formule du produit mixte, le résultat est pris en valeur absolue.
L'interprétation physique du produit mixte est qu'un volume physique est le produit scalaire d'une surface par un déplacement :
- <math>V = \det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3) = \vec v_1\cdot(\vec v_2\wedge\vec v_3) = \vec v_1\cdot\vec S_{23}</math>.
Le déplacement est un vecteur, mais la surface orientée est un pseudovecteur, si bien que le volume ainsi défini est théoriquement une grandeur qui change de signe lorsqu'on fait subir au système une isométrie indirecte (symétrie miroir par exemple). De fait, si par exemple le volume d'une sphère est Modèle:Math, une inversion polaire changera effectivement Modèle:Mvar en Modèle:Mvar et conduira logiquement à un volume négatif. Sur le plan de l'équation aux dimensions, et en tenant compte de la grandeur d'orientation, le déplacement est un vecteur de dimension Modèle:Dimension et la surface un pseudovecteur de dimension Modèle:Dimension, le produit des deux est un pseudoscalaire de dimension Modèle:Dimension, c'est-à-dire qu'il a le même caractère qu'un flux.
La physique reste effectivement inchangée si tous les volumes sont comptés négativement, mais en pratique les volumes physiques sont comptés positivement, ce qui revient à multiplier le volume au sens précédent par le symbole de Levi-Civita (lui-même en Modèle:Dimension). Le volume d'un corps physique est alors un scalaire vrai, à cause de la convention d'orientation. De même, alors qu'un élément de surface est normalement un pseudovecteur en Modèle:Dimension, la convention d'orientation qui veut que son orientation sur une surface fermée soit dirigée vers l'extérieur revient à le multiplier par la convention d'orientation en Modèle:Dimension, ce qui en fait alors un vecteur vrai en Modèle:Dimension. L'utilisation de cette convention d'orientation peut être problématique dans l'analyse dimensionnelle, parce qu'elle correspond à une grandeur par ailleurs généralement invisible dans les données du problème.
Volume élémentaire
Un domaine de dimension 3 peut généralement être décrit par trois paramètres indépendants Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Pour tout point Modèle:Math appartenant à ce domaine, le vecteur position <math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math> (où Modèle:Math désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :
- <math>\mathrm{d\,\overrightarrow{OM}}=\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial u}\right)\mathrm du+\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial v}\right)\mathrm dv+\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial w}\right)\mathrm dw</math>.
Une variation élémentaire Modèle:Math des trois paramètres forme l'élément de volume (ou volume élémentaire) Modèle:Math (ou simplement Modèle:Math si l'on n'a pas besoin de rappeler que trois variables varient indépendamment), défini par :
- <math>\mathrm d^3V=\det\!\left[\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial u}\right),\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial v}\right),\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial w}\right)\right]\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw</math>.
Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), un élément de volume s'exprime en mètres cubes (mModèle:3). Le signe de Modèle:Math est positif si les vecteurs <math>(\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}/\partial u)</math>, <math>(\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}/\partial v)</math> et <math>(\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}/\partial w)</math>, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct, et négatif s'ils forment un trièdre inverse.
Coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes orthonormées, le point courant Modèle:Math est repéré par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, de telle sorte que :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM}=x\,\hat x+y\,\hat y+z\,\hat z</math>
où <math>\hat x</math>, <math>\hat y</math> et <math>\hat z</math> sont les vecteurs unitaires, fixes, de trois axes orthogonaux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On a alors :
- <math>\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial x}\right)=\hat x, \ \left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial y}\right)=\hat y\ \textrm{ et }\ \left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial z}\right)=\hat z</math>.
On en déduit aisément que :
- <math>\mathrm d^3V=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
Coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques, le point courant Modèle:Math est repéré par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, de telle sorte que :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM}=r\,\hat r(\varphi)+z\,\hat z</math>
où <math>\hat z</math> est le vecteur unitaire de l'axe Modèle:Math d'un repère orthonormé, tandis que <math>\hat r(\varphi)</math>, vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. On a alors :
- <math>\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial r}\right)=\hat r(\varphi)</math>, <math>\ \left(\frac{\partial
\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial\varphi}\right)=r\,\hat\varphi(\varphi)\ </math> et <math>\ \left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial z}\right)=\hat z</math> où <math>\hat\varphi(\varphi)</math> est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. Les vecteurs <math>\hat r(\varphi)</math>, <math>\hat\varphi(\varphi)</math> et <math>\hat z</math> sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :
- <math>\mathrm d^3V=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz</math>.
Coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques, le point courant Modèle:Math est repéré par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, de telle sorte que :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM}=\rho\,\hat\rho(\theta,\varphi)</math>
où <math>\hat\rho(\theta,\varphi)</math>, vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. On a alors :
- <math>\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial\rho}\right)=\hat\rho(\theta,\varphi),\ \left(\frac{\partial
\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial\theta}\right)=\rho\,\hat\theta(\theta,\varphi)\ \textrm{ et }\ \left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial\varphi}\right)=\rho\sin(\theta)\,\hat\varphi(\varphi)</math> où <math>\hat\theta(\theta,\varphi)</math> est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, et <math>\hat\varphi(\varphi)</math> celui de coordonnées Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. Les vecteurs <math>\hat \rho(\theta,\varphi)</math>, <math>\hat\theta(\theta,\varphi)</math> et <math>\hat\varphi(\varphi)</math> sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :
- <math>\mathrm d^3V=\rho^2\sin(\theta)\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi</math>.
Unités de volume
L'unité de volume du Système international est le mètre cube (mModèle:3) et ses dérivés (dmModèle:3, cmModèle:3, mmModèle:3). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).
Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).
Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :
- le mètre cube dit normal exprimé en mModèle:3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de Modèle:Unité (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de Modèle:Unité ;
- le mètre cube dit standard exprimé en mModèle:3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de Modèle:Unité (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de Modèle:Unité.
Les volumes décrits ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits et du pouvoir calorifique des gaz.
Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.
En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête Modèle:Unité, un volume de X cubes unité correspond à Modèle:Unité.
Quelques formules
Modèle:Article détaillé Dans la suite on notera :
- Modèle:Mvar le volume d'une figure ;
- Modèle:Mvar l'arête ;
- Modèle:Mvar et Modèle:Mvar les aires de la grande base et de la petite base ;
- Modèle:Mvar la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;
- Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar le diamètre ;
- Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar le rayon ;
- Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar la longueur et la largeur d'un rectangle.
Les solides de Platon
Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :
| Polyèdre | Volume | Figure |
|---|---|---|
| Tétraèdre régulier | <math>\frac{\sqrt2}{12}\,a^3</math> | |
| Cube | <math>a^3</math> | |
| Octaèdre régulier | <math>\frac\sqrt23\,a^3</math> | |
| Dodécaèdre régulier | <math>\frac{15+7\sqrt5}4\,a^3</math> | |
| Icosaèdre régulier | <math>\frac{5\varphi^2}6\,a^3</math> où <math>\varphi</math> est le nombre d'or |
Les prismes et cylindres
La formule générale est toujours : Modèle:Math (volume = aire de la base × hauteur), que le prisme ou le cylindre soit droit ou pas.
En particulier,
- pour le parallélépipède rectangle ou pavé : <math>V = L\times\ell\times H</math>,
- pour le cylindre de révolution : Modèle:Math.
Les pyramides et cônes
La formule générale est toujours : Modèle:Math.
- Le cône de révolution : Modèle:Math.
- La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base : <math>V=\frac H3\left(B+b+\sqrt{Bb}\right)</math>.
La boule
- La boule a pour volume Modèle:Math ou Modèle:Math.
- Pour une calotte sphérique, <math>V=\frac\pi3H^2(3R-H)</math> ou <math>V = \frac\pi2H\left(\frac{H^2}3+r^2\right)</math> où Modèle:Mvar est le rayon de la boule, Modèle:Mvar est le rayon de la calotte et Modèle:Mvar la hauteur de la calotte.
- Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur Modèle:Mvar du cylindre : <math>V = \frac\pi6H^3</math>.
- Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : <math>V=\frac23\pi R^2H</math> où Modèle:Mvar est la hauteur de la calotte et Modèle:Mvar le rayon de la boule.
Solides de révolution
Modèle:Article détaillé Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface Modèle:Mvar plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité Modèle:Mvar de l'élément de surface Modèle:Mvar.
- <math>V = 2\pi RS</math> où Modèle:Mvar est la distance séparant le point Modèle:Mvar de l'axe de rotation.
Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :
- le tore : <math>V = 2\pi^2 Rr^2</math> où Modèle:Mvar est le rayon du cercle de centre Modèle:Mvar tournant autour de l'axe Modèle:Math et où Modèle:Mvar est la distance de Modèle:Mvar à Modèle:Math.
- le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si Modèle:Math et Modèle:Math sont les surfaces des bases et Modèle:Math la surface de la section à mi-hauteur alors
- <math>V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)</math>.
Autres
- Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : <math>V = \frac 12 \pi R^2H</math> où Modèle:Mvar est le rayon du cercle de base et Modèle:Mvar la hauteur du conoïde.
- Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales). On retrouve la formule de Kepler : <math>V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)</math> où Modèle:Math et Modèle:Math sont les surfaces des deux bases rectangulaires et Modèle:Math la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics.
Volume et calcul intégral
Modèle:Article détaillé Si <math>\mathcal D</math> est une partie bornée de <math>\R^2</math>, le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de <math>\mathcal D</math>, délimité par le plan Modèle:Math et la surface d'équation Modèle:Math – avec Modèle:Mvar positive et continue sur <math>\mathcal D</math> – est :
- <math>V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math>.
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal D</math> est défini par des conditions simples Modèle:Math, Modèle:Math, ce calcul se ramène à :
- <math>V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx</math>.
Si <math>\mathcal A</math> est une partie bornée de <math>\R^3</math> et si la fonction constante 1 est intégrable sur <math>\mathcal A</math>, le volume de <math>\mathcal A</math> est alors :
- <math>V = \iiint _\mathcal A \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal A</math> est défini par des conditions simples Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, ce calcul se ramène à :
- <math>V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.
Si le domaine <math>\mathcal A</math> s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples <math>\mathcal A'</math>, le calcul peut s'exprimer par :
- <math>V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz</math> où <math>\mathcal A'</math> est une partie bornée de <math>\R_+\times [0,2\pi] \times \R</math>
Si le domaine <math>\mathcal A</math> s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples <math>\mathcal A</math>, le calcul peut s'exprimer par :
- <math>V = \iiint _{\mathcal A} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi</math> où <math>\mathcal A</math> est une partie bornée de <math>\R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi]</math>.
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal A</math> est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation Modèle:Math autour de l'axe Modèle:Math, le calcul du volume se réduit à une intégrale simple :
- <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm dx</math>.
Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface :
- <math>V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\partial\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S</math>
où <math>\partial\mathcal A</math> est la frontière de <math>\mathcal A</math>, et <math>\vec n</math> le vecteur unitaire normal à Modèle:Math dirigé vers l'extérieur de <math>\mathcal A</math>.
