Dodécaèdre régulier
chacun a douze faces soit convexes, soit étoilées. L’enveloppe convexe d’un tel
polyèdre étoilé, ébauchée deux fois dans l’image, est un nouveau dodécaèdre de Platon
à gauche, ou bien son dual à droite. D’autres constructions sont donc possibles,
par exemple dans un plan parallèle à deux faces opposées d’un dodécaèdre de Platon,
cinq diagonales égales dessinent une face d’un grand dodécaèdre étoilé.
Le préfixe dodéca signifie douze en grec ancien : le nombre de faces d’un dodécaèdre. Les faces isométriques d’un dodécaèdre régulier sont des pentagones réguliers. Un seul dodécaèdre régulier est convexe : l’un des cinq solides de Platon. Les autres sont les trois dodécaèdres de Kepler‑Poinsot.
Description
La sphère circonscrite d’un dodécaèdre régulier passe par tous ses sommets. Sa sphère inscrite est tangente à toutes ses faces en leurs centres.
Convexe ou non, un dodécaèdre régulier possède trente arêtes. Un dodécaèdre de Platon et un grand dodécaèdre étoilé ont chacun vingt sommets, tandis qu’un grand dodécaèdre et un petit dodécaèdre étoilé en ont douze chacun. Les douze faces d’un dodécaèdre de Platon ou d’un grand dodécaèdre sont des pentagones convexes, celles d’un petit ou d’un grand dodécaèdre étoilé sont des pentagones étoilés.
L’enveloppe convexe d’un dodécaèdre de Kepler‑Poinsot est soit un dodécaèdre de Platon dans le cas du grand dodécaèdre étoilé, soit un dual du dodécaèdre de Platon dans les deux autres cas : un icosaèdre de Platon.
Dodécaèdre de Platon
Modèle:Infobox Polytope Son polyèdre dual est l’icosaèdre régulier convexe.
Grandeurs caractéristiques
Si Modèle:Mvar est la longueur d'une arête :
- le rayon de sa sphère circonscrite est : <math>R=\sqrt{3}\; \frac{1+\sqrt{5}}{4} \;a=\frac{\sqrt{3}}{2} \;\varphi \; a</math> où <math> \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> est le nombre d'or ;
- son aire est : <math>A=3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \; a^2=3\sqrt{5(3+4\varphi)} \; a^2</math>;
- son volume est : <math>V=\frac{15+7\sqrt5}{4} \; a^3=\frac{4+7\varphi}{2}\;a^3</math> ;
- son angle dièdre (entre deux faces) vaut : <math>\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\arccot\left(-\frac{1}{2}\right) \simeq 116{,}565^\circ</math> ;
- les 20 points de coordonnées <math>\left(0, \pm \frac1{\varphi}, \pm \varphi\right),\quad\left(\pm \frac1{\varphi}, \pm \varphi, 0\right),\quad\left(\pm \varphi, 0, \pm \frac1{\varphi}\right),\quad(\pm1, \pm1, \pm1)</math> sont les sommets d'un dodécaèdre régulier centré sur l'origine et d'arête <math> a = \frac 2 \varphi </math>.
Symétries
Le dodécaèdre admet un centre de symétrie. Modèle:Démonstration Les isométries laissant globalement invariant le dodécaèdre régulier forment un groupe. Ce groupe contient :
- les rotations d’axe passant par 2 sommets opposés et d'angle 2π/3 ou 4π/3 (120° et 240°). Il y a 10 couples de sommets opposés, donc 20 rotations de ce type ;
- les rotations d’axe passant par le centre de 2 faces opposées et d'angle 2π/5, 4π/5, 6π/5, ou 8π/5 (72°, 144°, 216° et 288°). Comme il y a 6 couples de faces opposées, il y a 24 rotations de ce type ;
- les rotations d'un angle π (180°) autour d'un axe par le milieu de 2 arêtes opposées (ces rotations sont aussi des symétries axiales). Il y a 15 couples d’arêtes opposées, et donc 15 rotations de ce type ;
- la symétrie s par rapport à son centre ;
- les symétries par rapport à un plan passant par le centre et perpendiculaire à un des 15 axes cités plus haut ;
- etc.
Avec l'identité, les 20 + 24 + 15 rotations énoncées forment un sous-groupe de 60 éléments au isomorphe au groupe alterné A5. Une rotation quelconque permute en effet les cinq cubes qui composent le dodécaèdre, et inversement, une quelconque permutation paire des cinq cubes définit une unique rotation.
De même, l'identité et la symétrie s forment un autre sous-groupe noté C2.
Le groupe des isométries noté <math> I_h</math> est le produit de ses deux sous-groupes ; il contient 120 éléments.
Propriétés diverses
Le dodécaèdre régulier et l'icosaèdre régulier sont duaux l'un de l'autre, c'est-à-dire que le polyèdre ayant pour sommets les centres des faces de l'un est l'homothétique de l'autre.
Le squelette du dodécaèdre régulier — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe dodécaédrique.
Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.
Le dodécaèdre admet cinq triplets de plans orthogonaux passant par le centre et qui sont chacun des plans de symétrie du dodécaèdre.
Modèle:Boîte déroulante/début Soit AB une arête de milieu M et KL l’arête symétrique de AB par rapport au centre O.
La symétrie par rapport au plan perpendiculaire à OM passant par O est le produit de la rotation d’un demi-tour d’axe OM par la symétrie de centre O.
La symétrie S d’axe passant par O et parallèle à AB et qui transforme AB en LK, fait partie des 15 rotations du groupe H d’un demi-tour conservant le dodécaèdre. La symétrie par rapport au plan passant par O et perpendiculaire à AB est le produit de S par la symétrie de centre O.
La symétrie T d’axe passant par O et perpendiculaire au plan AOB et qui transforme AB en KL, fait partie des 15 rotations du groupe H d’un demi-tour conservant le dodécaèdre. La symétrie par rapport au plan passant par AOB est le produit de T parla symétrie de centre O
Les trois plans orthogonaux passant par O, respectivement perpendiculaires à OM, à AB et aux deux précédents, sont donc trois des quinze plans de symétrie du dodécaèdre. Par quatre rotations d’angles 1/5, 2/5, 3/5 et 4/5 de tour, d’axe commun avec la face contenant A et ne contenant pas B, on obtient quatre autres triplets de plans orthogonaux de symétrie. Modèle:Boîte déroulante/fin
Construction
Construction du dodécaèdre<ref>Modèle:Lien, Les Fondements de la géométrie, Gauthier-Villars, Paris, 1969.</ref>.
1. Construction des trois premières faces.
Soit ABCDE un pentagone régulier constituant la première face F1, de centre O et d’arête de longueur a. Dans le plan ABC, la perpendiculaire à AB passant par E coupe la droite OA en H. Dans le plan passant par OAH et perpendiculaire au plan ABC, soit G un des deux points d’intersection de la perpendiculaire au plan en H avec le cercle de centre A et de rayon a. Les points E et G sont dans un même plan perpendiculaire à AB, et à la même distance de AB. Il existe donc une rotation d’axe AB transformant E en G. Soit F3 la transformée de F1 par cette rotation : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1. Soit F2 le symétrique de F3 par rapport au plan OAG : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1 et ayant l’arête commune AG avec F3.
2. Construction des trois faces suivantes.
Soit R la rotation d’axe passant par O et perpendiculaire au plan ABC et de 1/5 de tour. Elle transforme la face F2 en la face F3, car les plans EAG et ABG forment le même angle avec le plan ABC. Soient F4, F5 et F6 les transformées de F2 par les rotations respectives R2, RModèle:3 et R4. F2 a une arête commune avec F3, donc F6 a une arête commune avec R4(F3), qui est égal à R5(F2), soit F2.
3. Construction des six dernières faces.
Soit S la rotation d’axe passant par le centre de la face F2 et perpendiculaire à celle -ci, et de 1/5 de tour. Elle transforme les faces F1 et F3 respectivement en les faces F6 et F1, car les plans de F1, de F3 et de F6 forment le même angle avec le plan de F2. Par ailleurs, la face F4 a une arête commune avec F1 et une arête commune avec F3, mais aucune arête commune avec F2. Sa transformée S(F4) a donc une arête commune avec F6 et avec F1, mais aucune avec F2 : c’est donc F5.
Soient F7 et F8 les transformées de F1 par les rotations respectives S2 et SModèle:3. F1 ayant une arête commune avec F6, F8 a une arête commune avec F3.
Soient F9, F10 et F11 les transformées de F4 par les rotations respectives S2, SModèle:3 et S4. F4 ayant une arête commune avec F5, F11 a une arête commune avec F4.
L’arête de F4 qui n’est commune avec aucune des dix autres faces précédemment définies, est transformée par S, S2, SModèle:3 et S4 en une arête respectivement de F5, F9, F10, et F11, qui sont dans un même plan et forment un pentagone régulier, douzième face du dodécaèdre.
Utilisations
Le poète médiéval Jean de Meung (1240-1305) a décrit un jeu de société divinatoire, dénommé « dodechedron », qui utilise un dé en forme de dodécaèdre régulier, dont chacune des douze faces représente un des signes du Zodiaque<ref>Jean de Meung, Le dodechedron de fortune : livre non moins plaisant et récréatif, que subtil et ingénieux entre tous les jeux et passe temps de fortune, Nicolas Bonfons, Paris, 1577.</ref>.
Le Megaminx est un casse-tête dérivé du Rubik's cube en forme de dodécaèdre régulier.
Certains jeux de rôles sur table utilisent dans leur système de jeu des dés à 12 faces pour la résolution d'actions. Ces dés à 12 faces sont des dodécaèdres.
