Vecteur position
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Voir homonymes Modèle:Infobox Grandeur physique
En géométrie, le vecteur position<ref>Entrée Modèle:Chapitre (en ligne sur Google Livres).</ref>, ou rayon vecteur, est le vecteur qui sert à indiquer la position d'un point par rapport à un repère. L'origine du vecteur se situe à l'origine fixe du repère et son autre extrémité à la position du point. Si l'on note Modèle:Math cette position et Modèle:Math l'origine, le vecteur position se note <math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math>. On le note aussi <math>\vec\ell</math> ou <math>\vec r</math>.
En physique, le vecteur déplacement d'un point matériel ou d'un objet est le vecteur reliant une ancienne position à une nouvelle, donc le vecteur position final moins le vecteur position initial. Le travail d'une force, par exemple, est égal au produit de la force par le déplacement de son point d'application. Si l'on note Modèle:Math et Modèle:Math les positions de deux points, le vecteur déplacement de Modèle:Math vers Modèle:Math se note <math>\overrightarrow\mathrm{AB}=\overrightarrow\mathrm{OB}-\overrightarrow\mathrm{OA}</math>.
Grandeur physique
Déplacement et longueur
Un déplacement et une longueur sont tous les deux exprimés en mètres, mais ces deux grandeurs ne sont pas équivalentes. Le terme de « longueur » est plutôt réservé à la mesure géométrique d'un objet, d'une distance ou d'un chemin, c'est le résultat d'une intégrale curviligne. Une telle longueur est alors un scalaire extensif (la longueur hors tout d'un train est la somme des longueurs de ses composants). Un « déplacement » est en revanche une grandeur vectorielle (caractérisée par une direction et une norme) et intensive (elle est définie en chaque point, et ne peut pas être additionnée d'un point sur l'autre).
Sur le plan de l'analyse dimensionnelle, ces deux grandeurs sont toutes les deux des longueurs, mais la grandeur d'orientation est différente : la longueur est un scalaire en Modèle:Dimension tandis que le déplacement est un vecteur en Modèle:Dimension.
Le long d'une courbe, le déplacement élémentaire <math>\overrightarrow{\mathrm d\ell}</math> est une grandeur dont l'intégrale sur l'ensemble d'un segment peut conduire :
- à la longueur de l'arc :
- <math>L=\int_\mathrm A^\mathrm B\mathrm d\ell=\int_\mathrm A^\mathrm B\left\|\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\mathrm du}\right\|\mathrm du</math>, où Modèle:Mvar est un paramétrage de la courbe ;
- au déplacement entre ses deux extrémités (dont le module est la longueur de la corde Modèle:Math) :
- <math>\overrightarrow\mathrm{AB}=\int_\mathrm A^\mathrm B\overrightarrow{\mathrm d\ell}</math>.
Déplacement et position
Contrairement au vecteur position, le vecteur déplacement ne fait pas référence à une origine, mais à un point de départ. La différence entre position et déplacement ne tient qu'au statut du point d'origine : le vecteur déplacement est égal au vecteur position lorsque l'origine est prise par rapport au point de départ ; et inversement, le vecteur position est le déplacement qu'il faut effectuer pour aller de l'origine au point considéré.
Ces deux notions sont liées en cinématique du point : la vitesse se définit comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps, mais la primitive de la vitesse (définie à une origine arbitraire près) ne présente pas d'intérêt, contrairement à l'intégrale de cette vitesse sur un intervalle de temps, qui donne le vecteur déplacement de ce point.
Écriture d'un vecteur
Coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes (origine Modèle:Math et vecteurs de base <math>\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}</math>) :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\,\vec{e_x}+y\,\vec{e_y}+z\,\vec{e_z}</math>
où Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les coordonnées du point Modèle:Math dans le repère cartésien.
Coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques (origine Modèle:Math et vecteurs de base <math>\vec{e_r},\vec{e_\theta},\vec{e_z}</math>) :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM}=\begin{pmatrix}r\\0\\z\end{pmatrix}=r\,\vec{e_r}+z\,\vec{e_z}</math>
- Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées)
Les coordonnées polaires Modèle:Mvar et Modèle:Mvar du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par :
- <math>x=r\cos(\theta)</math>
- <math>y=r\sin(\theta)</math>
Les vecteurs de base <math>\vec{e_r}</math> et <math>\vec{e_\theta}</math> dépendent de Modèle:Mvar :
- <math>\vec{e_r}=\vec{e_x}\cos(\theta)+\vec{e_y}\sin(\theta)</math>
- <math>\vec{e_\theta}=-\vec{e_x}\sin(\theta)+\vec{e_y}\cos(\theta)</math>
Coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques (origine Modèle:Math et vecteurs de base <math>\vec{e_\rho},\vec{e_\theta},\vec{e_\varphi}</math>) :
- <math>\overrightarrow\mathrm{OM}=\begin{pmatrix}\rho\\0\\0\end{pmatrix}= \rho\,\vec{e_\rho}</math>
- Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées)
Les coordonnées sphériques Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par :
- <math>x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)</math>
- <math>y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)</math>
- <math>z=\rho\cos(\theta)</math>
Les vecteurs de base <math>\vec{e_\rho}</math>, <math>\vec{e_\theta}</math> et <math>\vec{e_\varphi}</math> dépendent de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :
- <math>\vec{e_\rho}=\vec{e_x}\sin(\theta)\cos(\varphi)+\vec{e_y}\sin(\theta)\sin(\varphi)+\vec{e_z}\cos(\theta)</math>
- <math>\vec{e_\theta}=\vec{e_x}\cos(\theta)\cos(\varphi)+\vec{e_y}\cos(\theta)\sin(\varphi)-\vec{e_z}\sin(\theta)</math>
- <math>\vec{e_\varphi}=-\vec{e_x}\sin(\theta)\sin(\varphi)+\vec{e_y}\sin(\theta)\cos(\varphi)</math>
Notions connexes
Le vecteur déplacement est défini comme la différence entre les vecteurs positions d'un point à deux instants différents.
La dérivée d'un vecteur position par rapport au temps, donne un vecteur vitesse.
