Intégrale curviligne

En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Modèle:Math. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.

Dans cet article, Modèle:Math est un arc orienté dans ℝⁿ, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée Modèle:Math, avec Modèle:Math.

Intégrale d'un champ scalaire

Fichier:Line integral of scalar field.gif

Intégrale curviligne d'un champ scalaire.

On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu <math>f:\Gamma\to\R</math> comme l'intégrale de Stieltjes de Modèle:Math par rapport à l'abscisse curviligne Modèle:Math (longueur de l'arc Modèle:Math restreint à Modèle:Math)<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>\int_{\Gamma}f\ \mathrm{d}s=\int_a^b(f\circ\gamma)\,\mathrm{d}s_{\gamma},</math>

c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de Modèle:Math tend vers 0, des sommes de Riemann associées :Modèle:Retrait où la subdivision pointée est notée : Modèle:Math.

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Modèle:Math, ni de l'orientation.

La longueur Modèle:Math de l'arc Modèle:Math est l'intégrale curviligne de la fonction constante Modèle:Math.

Si Modèle:Math est de classe C¹, Modèle:Retrait

Analyse vectorielle

Fichier:Line integral of vector field.gif

Circulation d'un champ vectoriel.

On définit également la circulation le long de Modèle:Math d'un champ vectoriel continu <math>f:\Gamma\to\R^n</math> comme une intégrale de Stieltjes :

<math>\int_{\Gamma}f\cdot\,\mathrm{d}\gamma=\int_a^b(f\circ\gamma)\cdot\,\mathrm{d}\gamma,</math>

où Modèle:Math désigne le produit scalaire<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de Modèle:Math mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).

On peut reformuler cette définition en notant Modèle:Math la [[Forme différentielle de degré un#Lien avec les champs de vecteurs|1-forme différentielle « produit scalaire par Modèle:Math »]] : si Modèle:Math est une 1-forme différentielle continue sur le support de Modèle:Math, on définit l'[[Forme différentielle#Intégration des formes|intégrale curviligne de Modèle:Math]] le long de Modèle:Math par :

<math>\int_{\Gamma}\omega=\int_a^b\langle\omega\circ\gamma,\mathrm{d}\gamma\rangle,</math>

où Modèle:Math est le crochet de dualité.

Si Modèle:Math est de classe C¹,Modèle:Retrait

Analyse complexe

Pour n = 2 et en identifiant ℝ² au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue <math>f:\Gamma\to\Complex</math> comme l'intégrale de la 1-forme différentielle Modèle:Citation :

<math>\int_{\Gamma}f(z)\,\mathrm{d}z = \int_a^b(f\circ\gamma)\,\mathrm{d}\gamma.</math>

Si Modèle:Math est de classe C¹, Modèle:Retrait

Lorsque Modèle:Math est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation : Modèle:Retrait

Exemple

Soit la fonction Modèle:Math, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par [[Exponentielle complexe|Modèle:Math]], avec Modèle:Math parcourant Modèle:Math. L'intégrale correspondante est{{Retrait|<math>\oint_C f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over{\rm e}^{{\rm i}t}}{\rm i}{\rm e}^{{\rm i}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^{2\pi}{\rm 1}\,\mathrm{d}t=2\pi.</math>}}

Propriétés

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Articles connexes

• Théorème de Stokes
• Intégrale de surface
• Méthodes de calcul d'intégrales de contour