Formule intégrale de Cauchy
La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.
Expression
Soient :
- Modèle:Mvar un ouvert simplement connexe du plan complexe ℂ ;
- Modèle:Math une fonction holomorphe sur Modèle:Mvar ;
- Modèle:Math un chemin fermé rectifiable inclus dans Modèle:Mvar ;
- et Modèle:Mvar un point de Modèle:Mvar n'appartenant pas à ce chemin.
On a alors la formule suivante :
où Modèle:Math désigne l'indice du point Modèle:Mvar par rapport au chemin Modèle:Math. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où Modèle:Math est un cercle C orienté positivement, contenant Modèle:Mvar et inclus dans Modèle:Mvar. En effet, l'indice de Modèle:Mvar par rapport à C vaut alors 1, d'où :
Cette formule montre que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne, est vrai pour les fonctions harmoniques.
Principale conséquence
Montrons que ceci implique que Modèle:Mvar est développable en série entière sur Modèle:Mvar : soit <math>a\in U</math>, <math>r>0</math> tel que <math> D(a,r)\subset U</math>.
Soit <math>z\in D(a,r)</math>, et <math>\gamma</math> le cercle de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar orienté positivement paramétré par <math>\theta\in[0,2\pi]</math>.
On a pour tout <math>\theta\in[0,2\pi]</math> : <math>\left|\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}\right|=\frac{|z-a|}{r}<1</math>,
ce qui prouve la convergence uniforme sur <math>[0,2\pi]</math> de la série de terme général
<math>\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}</math> vers
<math>\frac{1}{\gamma(\theta)-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}}=\frac{1}{\gamma(\theta)-z}</math>,
et comme <math>f\circ \gamma</math> est continue sur <math>[0,2\pi]</math> compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série
<math>\sum_{n=0}^\infty f(\gamma(\theta))\cdot\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}</math> sur <math>[0,2\pi]</math>,
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout Modèle:Mvar dans Modèle:Math :
- <math>f(z) = \sum _{n=0}^\infty c_n(z-a)^n </math> avec <math>c_n= {1 \over 2\pi {\rm i}} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, {\rm d}\xi </math>
et donc Modèle:Mvar est analytique sur Modèle:Mvar. On a supposé dans la démonstration que Modèle:Mvar était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert Modèle:Mvar quelconque est analytique sur Modèle:Mvar.
De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar :
- <math>f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi {\rm i}} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi</math>.
Démonstration de la formule
On définit une fonction Modèle:Mvar par :
Cette fonction est continue sur Modèle:Mvar et holomorphe sur Modèle:Math. On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy :
En remplaçant Modèle:Math par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.
Autres conséquences
Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.
Une version plus générale de la formule intégrale
Principalement pour certains usages plus théoriques, on dispose d'un résultat d'une grande généralité. Les hypothèses du § Expression sont modifiées comme suit:
- Modèle:Mvar est un ouvert quelconque du plan.
- Le chemin fermé est remplacé par une combinaison linéaire formelle Modèle:Mvar à coefficients entiers (par exemple une somme) de chemins rectifiables (non nécessairement individuellement fermés mais) fermée dans son ensemble. Ceci signifie qu'ayant défini le bord d'un chemin comme la différence formelle 'extrémité moins origine' (à ne pas confondre avec la différence au sens d'opération arithmétique!), on prolonge l'opération bord par linéarité et Modèle:Mvar est dite fermée si son bord est nul, voir la notion de chaîne en topologie algébrique (les notions les plus basiques de l'homologie suffisent).
- La condition "Modèle:Mvar est simplement connexe" est remplacée par: pour tout nombre complexe Modèle:Mvar n'appartenant pas à Modèle:Mvar, l'indice de Modèle:Mvar par rapport à Modèle:Mvar vaut 0.
- On peut en outre supposer Modèle:Mvar à valeurs dans un espace de Banach complexe.
- La conclusion est la même (première formule du § Expression).
Pour une démonstration, voir l'article de John D. Dixon<ref>Modèle:Article.</ref>. On y trouvera aussi la généralisation correspondante du théorème intégral de Cauchy.
