Lacet (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. Par exemple, tout cercle dans le plan euclidien est un lacet.

Définitions

Soit <math>X</math> est un espace topologique.

Définition 1 :

• On appelle lacet sur <math>X</math> toute application continue <math>\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X</math> telle que <math>\gamma(0)=\gamma(1)</math>.
• Autrement dit, un lacet sur <math>X</math> est un chemin sur <math>X</math> dont les deux extrémités (le point initial et le point final) sont identiques.

Définition 2 :

• On appelle lacet sur <math>X</math> toute application continue de <math>S^1</math> vers <math>X </math>, où <math>S^1</math> dénote le cercle unité <math>\{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}</math>.
• S¹ peut être regardé comme le quotient de <math>[0,1]</math> en identifiant 0 ∼ 1.

L'ensemble de tous les lacets dans X est appelé l'espace des lacets de X.

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des "courbes rectifiables<ref>Une courbe est rectifiable si les polygones inscrits sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée. "Longueur d'un arc".</ref>"

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité Modèle:Nobr implique soit que Modèle:Nobr, soit que <math>\{a, b\} = \{ 0, 1 \} </math>. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe <math>C^k</math> (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe

Modèle:Article détaillé Dans le cas <math>X=\mathbb{C}</math>, on peut définir l'indice <math>\mathrm{I}(\gamma,z_0)</math> d'un lacet <math>\gamma</math> par rapport à un point <math>z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1])</math> : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

<math> \operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}</math>

Voir aussi

• Homotopie
• Connexité par arcs
• Connexité simple
• Espace des lacets
• Groupe fondamental
• Modèle:Lien
• Analyse complexe | Théorème intégral de Cauchy | Théorème des résidus

Notes

<references /> Modèle:Portail