Théorème des résidus
Modèle:Confusion En analyse complexe, le théorème des résidus est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées qui repose sur les résidus de la fonction à intégrer.
Il est utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles ainsi que la somme de certaines séries. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy.
Énoncé
Soient U un sous-ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe ℂ, {z1, …, zn} un ensemble de n points de U, et f une fonction définie et holomorphe sur U \ {z1, …, zn}.
Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points singuliers zk et dont le point de départ correspond au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors :
- <math>\int_\gamma f(z)~\mathrm dz=
2\pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, z_k )\,\mathrm{Ind}_\gamma(z_k). </math>
Ici, Res(f,zk) désigne le résidu de f en zk, et <math>\mathrm{Ind}_\gamma(z_k) </math> l'indice du lacet γ par rapport à zk. Intuitivement, l'indice du lacet est le nombre de tours autour de zk effectués par un point parcourant tout le lacet. Ce nombre de tours est un entier ; il est positif si γ est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct) autour de zk, nul si γ ne se déplace pas du tout autour de zk, et négatif si γ est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre autour de zk.
L'indice est défini par
- <math> \operatorname{Ind}_\gamma(z_k) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{\gamma} \frac{\text{d}z}{z-z_k}.</math>
Exemple
Prenons comme ouvert <math>U=\Complex</math> qui est bien ouvert et simplement connexe et considérons la fonction holomorphe <math>f:\Complex\setminus \{0\}\to \Complex</math> définie par <math>f(z) = 1/z</math> (nous avons donc ici <math>n=1</math> et <math>z_1=0</math>).
Calculons alors l'intégrale de cette fonction le long de la courbe <math>\gamma : [0,2\pi]\to \Complex</math> définie par <math>\gamma(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}</math> (son image étant le cercle unité) avec le théorème des résidus : on a ici <math>\operatorname{Res}( f, 0) = 1</math> et <math>\operatorname{Ind}_\gamma(0) = 1</math> d'où
- <math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz = 2\mathrm{i}\pi</math>
Variante
Application au calcul d'intégrales réelles
Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise souvent de la façon suivante : l'intégrande est prolongé en une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe ; ses résidus sont calculés, et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, grâce au lemme d'estimation ou au lemme de Jordan, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro, quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.
La liste ci-dessous n'est pas exhaustive mais elle permet d'avoir une idée générale de la technique utilisant le théorème des résidus, on aborde :
- les Modèle:Refnec: <math>\int_0^{2\pi}R(\cos(t),\sin(t))~\mathrm dt</math> où <math>R</math> est une fonction rationnelle ;
- les Modèle:Refnec : <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mathrm dx</math> ;
- les Modèle:Refnec : <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm \mathrm{e}^{\mathrm{i}ax}~\mathrm dx</math> ;
- les Modèle:Refnec : combinaison des deux cas précédents en considérant la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.
Premier type
Soit le calcul de l'intégrale réelle suivante :
- <math>I=\int_0^{2\pi}R(\cos(t),\sin(t))~\mathrm dt</math>
avec <math>R</math> une fonction rationnelle ayant un nombre fini de points singuliers <math>z_j</math> et dont aucun n'appartient au cercle <math> C(0, 1)</math> centré à l'origine et de rayon 1. On obtient par le théorème des résidus :
- <math>I=2i\pi\sum_{|z_j|<1}\mathrm{Res}(f, z_j) </math>
où <math>f</math> est définie comme suit :
- <math>f(z)=\frac1{\mathrm{i}z}R\left(\frac{z+z^{-1}}2, \frac{z-z^{-1}}{2\mathrm{i}}\right).</math>
Modèle:DémonstrationR(\cos(t),\sin(t))\cdot \mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}~\mathrm dt=I</math>
où l'on a utilisé la formule d'Euler pour passer des exponentielles complexes aux fonctions trigonométriques. Par ailleurs, le théorème des résidus nous indique que cette intégrale vaut :
- <math>\int_\gamma f(z)~\mathrm dz=2\mathrm{i}\pi\sum_{z_j\in F}\mathrm{Res}(f,z_j)\mathrm{Ind}_\gamma(z_j)=2\mathrm{i}\pi\sum_{|z_j|<1}\mathrm{Res}(f, z_j)</math>
où <math>F</math> désigne l'ensemble (fini) des points singuliers de <math>f</math> appartenant au disque ouvert <math>D(0, 1)</math>. En égalant les deux dernières relations obtenues, on retrouve l'identité de départ. }}
Modèle:Démonstration.</math>
Développement : la fonction rationnelle correspondante est :
- <math>R(x,y)={1\over a+y}.</math>
On construit donc la fonction <math>f</math> correspondante pour le calcul de résidu :
- <math>f(z)={1\over iz}R\left({z+z^{-1}\over 2},{z-z^{-1}\over 2\mathrm{i}}\right)={2\over z^2+2\mathrm{i}az-1}=\frac1{\mathrm{i}\sqrt{a^2-1}}\left(\frac1{z-p_-}-\frac1{z-p_+}\right),</math>
les deux pôles simples étant :
- <math>p_\pm=-i(a\pm\sqrt{a^2-1}).</math>
Le pôle <math>p_+</math> est en dehors du cercle unité (<math>|p_+|>1</math>) et ne doit donc pas être considéré ; le pôle <math>p_-=-1/p_+</math> est à l'intérieur (<math>|p_-|<1</math>).
Le résidu de <math>f</math> en ce pôle est :
- <math>\mathrm{Res}(f, p_-)=\lim_{z\to p_-}(z-p_-)f(z)={1\over \mathrm{i}\sqrt{a^2-1}}.</math>
Il nous reste maintenant à appliquer la formule de départ :
- <math> I=2i\pi\mathrm{Res}(f, p_-)={2\pi\over\sqrt{a^2-1}}.</math>
}}
Deuxième type
Soit le calcul de l'intégrale impropre suivante :
- <math>I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mathrm dx</math>
avec <math>f</math> ayant un ensemble de points singuliers isolés <math>z_j</math> purement complexes. Si <math>\lim_{|z|\to+\infty}zf(z)=0</math> et si <math>I</math> converge, alors
- <math>I=2\mathrm{i}\pi\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}(f,z_j)=-2\mathrm{i}\pi\sum_{\Im(z_j)<0}\mathrm{Res}(f, z_j).</math>
Remarque : dans le cas où <math>f</math> est une fonction rationnelle définie par <math>f(z)={P(z)\over Q(z)}</math> avec <math>P</math> et <math>Q</math> des polynômes, <math>Q</math> sans racines réelles, il suffit d'exiger que <math>\mathrm{deg}(Q)\ge\mathrm{deg}(P)+2</math> (où <math>\mathrm{deg}</math> représente le degré du polynôme) pour que les hypothèses soient vérifiées, la convergence de l'intégrale étant même absolue.
Modèle:Démonstration Modèle:Démonstration
Troisième type
Soit le calcul de l'intégrale impropre suivante :
- <math>I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm e^{\mathrm{i}ax}~\mathrm dx</math>
avec <math>f</math> comportant un ensemble de point singuliers isolés purement complexes. Si <math>\lim_{|z|\to+\infty}f(z)=0</math> et si <math>I</math> converge, alors :
- <math>(\mathrm{si}\,\,a>0),\quad I=2i\pi\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}\left(f(z)\mathrm e^{\mathrm{i}az},z_j\right)</math>
et
- <math>(\mathrm{si}\,\,a<0),\quad I=-2\mathrm{i}\pi\sum_{\Im(z_j)<0}\mathrm{Res}\left(f(z)\mathrm e^{\mathrm{i}az},z_j\right).</math>
Modèle:Démonstration Modèle:Démonstration
Quatrième type
Les intégrales du deuxième et du troisième type s'étendent aux cas avec un nombre fini n de pôles situés sur l'axe réel. Il s'agit alors d'une intégrale impropre et l'on considère alors la valeur principale de Cauchy de l'intégrale.
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur ℂ sauf en un ensemble de pôles simples réels, <math>x_j</math>, et de singularités isolées purement complexes, <math>z_j</math>. Supposons que l'on se trouve dans un des deux cas suivant :
- il existe <math>M,R>0</math> et <math>\alpha>1</math> tels que <math>|f(z)|\le{M\over|z|^\alpha}</math> pour tout complexe <math>z</math> de module supérieur ou égal à <math>R</math>,
ou
- <math>f(z)=g(z)\mathrm e^{\mathrm{i}az}</math> avec <math>a>0</math> et il existe <math>M,R>0</math> tels que <math>|g(z)|\le{M\over|z|}</math> pour tout complexe <math>z</math> de module supérieur ou égal à <math>R</math>.
Alors la valeur principale de Cauchy (notée <math>\mathrm{v.p.} </math>) de l'intégrale existe et on a :
- <math>\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mathrm dx=2\pi \mathrm{i}\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}(f,z_j)+\pi \mathrm{i}\sum_{x_j}\mathrm{Res}(f,x_j).</math>
Remarque : on peut aisément étendre la formule au demi-plan inférieur en changeant le signe de la première somme et en considérant uniquement les singularités purement complexe dans ce demi-plan.
Modèle:Démonstrationf(z)~\mathrm dz\to\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mathrm dx</math>
D'après le théorème des résidus, on a, pour <math>R>0</math> suffisamment grand et <math>\varepsilon>0</math> suffisamment petit :
- <math>\int_{\gamma_{R,\varepsilon}} f(z)~\mathrm dz=2\mathrm{i}\pi\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}(f,z_j)</math>
et on a aussi :
- <math>\int_{\sigma_{R,\varepsilon}}f(z)~\mathrm dz=\int_{\gamma_{R,\varepsilon}} f(z)~\mathrm dz-\sum_{j=1}^n\int_{\gamma_{\varepsilon,j}}f(z)~\mathrm dz-\int_{\Gamma_R}f(z)~\mathrm dz.</math>
On montre de manière identique aux deux types d'intégrations précédents que, à la limite, l'intégrale le long de <math>\Gamma_R</math> tend vers zéro dans les deux cas considérés.
Il nous reste donc à calculer les intégrales le long des demi-cercles <math>\gamma_{\varepsilon,j}</math>. Au voisinage d'un pôle simple réel <math>x_j</math>, <math>f</math> admet un développement de Laurent sur un disque épointé centré en <math>x_j</math>. Comme il s'agit d'un pôle simple, le seul coefficient non nul de la partie singulière du développement est <math>a_{-1, j}</math>.
Autrement dit, sur ce voisinage, on peut écrire :
- <math>f(z)={a_{-1,j}\over z-x_j}+h_j(z)</math>
avec <math>h_j</math> une série entière (donc une fonction holomorphe).
On a donc :
- <math>\int_{\gamma_{\varepsilon, j}}f(z)~\mathrm dz=\int_{\gamma_{\varepsilon,j}}{a_{-1,j}\over z-x_j}~\mathrm dz + \int_{\gamma_{\varepsilon,j}}h_j(z)~\mathrm dz.</math>
La deuxième intégrale tend vers zéro quand <math>\varepsilon\to0</math> puisque <math>h_j</math> est holomorphe. En explicitant l'intégrale restante, on a en considérant la paramétrisation suivante des demi-cercles :
- <math>\gamma_{\varepsilon,j}:[0,\pi]\to\Complex,\gamma_{\varepsilon,j}(t)=x_j+\varepsilon\mathrm e^{i(\pi-t)}</math>
où le terme <math>\pi-t</math> vient du fait que ces contours sont parcourus dans le sens anti-trigonométrique,
- <math>\int_{\gamma_{\varepsilon,j}}f(z)~\mathrm dz=a_{-1,j}\int_0^\pi{-i\varepsilon\mathrm e^{\mathrm{i}(\pi-t)}\over\varepsilon\mathrm e^{\mathrm{i}(\pi-t)}}~\mathrm dt=-i\pi a_{-1,j}.</math>
Le coefficient <math>a_{-1,j}</math> est par définition le résidu de la fonction en <math>x_j</math>. À la limite quand <math>R\to\infty</math> et <math>\varepsilon\to0</math>, on a donc bien :
- <math>\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)~\mathrm dx=2\mathrm{i}\pi\sum_{\Im(z_j)>0}\mathrm{Res}(f,z_j)+\mathrm{i}\pi\sum_{x_j}\mathrm{Res}(f, x_j).</math>
Application aux calculs de sommes
Le théorème des résidus permet aussi de calculer certaines sommes infinies. Soit une fonction <math>g</math> ayant pour chaque entier <math>n </math> un résidu égal au <math>n</math>-ième terme général d'une somme infinie <math>S</math> ainsi qu'un ensemble <math>E</math> de résidus correspondant à d'autres points. Supposons que l'intégrale de cette fonction le long d'un lacet <math>\gamma</math> rectifiable infiniment grand soit nulle. On a alors par le théorème des résidus :
- <math>\int_\gamma g(z)~\mathrm dz=2\mathrm{i}\pi\left[S+\sum_{z_k\in E}\mathrm{Res}(g;z_k)\right]=0.</math>
Par conséquent, on peut exprimer la somme infinie par une autre somme (en général finie) de résidus :
- <math>S=-\sum_{z_k\in E}\mathrm{Res}(g;z_k).</math>
Les énoncés ci-dessous donnent des exemples plus généraux de cas pour lesquels cette méthode est applicable :
- les sommes du "premier type" : <math>\sum f(n)</math> ;
- les sommes du "deuxième type" : <math>\sum (-1)^nf(n)</math>.
Premier type
Soit le calcul de la somme suivante :
- <math>S=\sum_{-\infty,n\notin E}^\infty f(n)</math>
avec <math>f</math> ayant un ensemble <math>E</math> de singularités isolées. Supposons que la condition suivante soit respectée :
- il existe <math>M,R>0</math> et <math>\alpha>1</math> tels que <math>|f(z)|\le{M\over |z|^\alpha}</math> pour tout complexe <math>z</math> de module supérieur ou égal à <math>R</math>.
Alors, nous avons :
- <math>\sum_{-\infty,n\notin E}^\infty|f(n)|<+\infty</math>
et
- <math>\sum_{-\infty,n\notin E}^\infty f(n)=-\sum_{z_k\in E}\mathrm{Res}\left(f(z)\pi\cot(\pi z);z_k\right).</math>
Modèle:Démonstration)\right|\right).</math>
Le module de la fonction <math>\cot</math> est bornée par une certaine constante <math>K>0</math> sur le contour puisque l'on évite les entiers de l'axe réel de par le choix du contour, le membre de droite de l'inégalité ci-dessus est donc majoré par
- <math>L\le\lim_{N\to\infty}{2\pi RMK\over R^\alpha}=0</math>
où l'on a utilisé le fait que <math>\alpha>1</math>. Comme la limite vaut bien zéro, le résultat est démontré. }} Modèle:Démonstration</math>
et finalement
- <math>S={\pi\coth(a\pi)\over a}</math>
où l'on a utilisé la formule d'Euler pour passer des fonctions trigonométriques à des exponentielles complexes ainsi que la définition de la fonction cotangente hyperbolique.
Remarque : par symétrie, on a que :
- <math>\sum_{-\infty}^{-1}{1\over n^2+a^2}=\sum_1^\infty{1\over n^2+a^2}={1\over 2}\left({\pi\coth(a\pi)\over a}-{1\over a^2}\right)</math>
c'est-à-dire la moitié de la somme précédemment calculée moins le terme pour <math>n=0</math>. Passant à la limite quand a tend vers 0, et utilisant le développement limité <math>\coth x =\frac1{x}\left(1+\frac{x^2}3\right)+o(x)</math>, on retrouve le résultat d'Euler : <math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>.
On trouvera à l'article Fonction digamma une autre méthode de calcul de ces sommes.}}
Deuxième type
Soit le calcul de la somme suivante :
- <math>S=\sum_{-\infty,n\notin E}^\infty(-1)^nf(n)</math>
avec <math>f</math> ayant un ensemble <math>E</math> de singularités isolées. Supposons que <math>f</math> satisfasse à la même condition que pour les sommes du premier type à savoir :
- il existe <math>M,R>0,\alpha>1</math> tels que <math>|f(z)|\le{M\over|z|^\alpha}</math> pour tout complexe <math>z</math> de module supérieur ou égal à <math>R</math>.
Alors, la somme converge absolument et on a :
- <math>\sum_{\infty,n\notin E}^\infty(-1)^nf(n)=-\sum_{z_k\in E}\mathrm{Res}\left(f(z)\pi\csc(\pi z);z_k\right).</math>
{{Démonstration|contenu= La démonstration est identique à celle du premier type, il nous suffit de montrer que la fonction <math>\pi\csc(\pi z)</math> a pour résidus <math>\left\{(-1)^n;n\in\Z\right\}</math>.
On a <math>\csc(\pi z)={1\over\sin(\pi z)}</math> avec un pôle simple à chaque point entier.
Le résidu d'une fraction ayant un zéro simple au dénominateur est donné par :
- <math>\mathrm{Res}\left({{\pi\over\sin(\pi z)};n}\right)={\pi\over\sin'(n\pi)}={\pi\over\pi\cos(n\pi)}=(-1)^n</math>
ce qui conclut la démonstration. }} Modèle:Démonstration
Voir aussi
- Fonction multivaluée
- Principe de l'argument
- Lemme de Jordan
- Lemme d'estimation
- Méthodes de calcul d'intégrales de contour
- Modèle:Lien