Convergence uniforme
La convergence uniforme d'une suite de fonctions <math>(f_n)_{n\in\N}</math> est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites <math>(f_n(x))_{n\in\N}</math> avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».
Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction Modèle:Math se « rapproche » de celui de la limite.
Définition
Convergence uniforme
Soient Modèle:Mvar un ensemble<ref>En particulier, la définition de la convergence uniforme a du sens même si l'espace de départ n'est pas muni d'une structure topologique. Cependant certaines propriétés phares de la convergence uniforme concernent des situations où l'espace de départ est nécessairement muni d'une topologie, par exemple la conservation de la continuité par passage à la limite.</ref>, Modèle:Math un espace métrique, et Modèle:Mvar un sous-ensemble de Modèle:Mvar. Soient <math>(f_n)_{n\in\N}</math> une suite de fonctions définies sur Modèle:Mvar et à valeurs dans Modèle:Mvar, et Modèle:Mvar une fonction définie sur Modèle:Mvar à valeurs dans Modèle:Mvar. On dit que la suite Modèle:Math converge uniformément vers Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar si :
- <math>(1)\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N_\varepsilon\in\N\quad\forall n\in\N\quad\left[n\ge N_\varepsilon\Rightarrow \forall x\in A,d(f_n(x),f(x))\le\varepsilon\right]</math>.
Remarque : en introduisant la notation
- <math>d_{\infty,A}(f,g)=\sup_{x\in A}d(f(x),g(x))</math>
(dans laquelle la borne supérieure peut a priori être infinie), la propriété (1) est équivalente à :
- <math>\forall \varepsilon > 0\quad\exists N_{\varepsilon} \in \N\quad\forall n \in \N\quad [ n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow d_{\infty,A}(f_n,f)\le \varepsilon]</math>.
Autrement dit, Modèle:Math converge uniformément vers Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar si et seulement si
- <math>\lim_{n\rightarrow+\infty}d_{\infty,A}(f_n,f)=0</math>.
{{#if:
|
| Modèle:Non videpx
}}
Quelques explications
On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions Modèle:Math converge simplement vers Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar si :
- <math>\forall x \in A\quad\forall \varepsilon > 0\quad\exists N_{\varepsilon,x} \in \N\quad\forall n \in \N\quad n \ge N_{\varepsilon,x} \Rightarrow d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon</math>.
Ici, l'indice <math>N_{\varepsilon,x}</math> dépend de <math>x\in A</math> alors que dans la proposition <math>(1)</math>, l'indice <math>N_{\varepsilon}</math> n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle :
- Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, on peut trouver un rang à partir duquel la distance <math> d(f_n(x),f(x))</math> devient très petite. A priori, si l'on choisit un Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar autre que Modèle:Mvar alors le rang à partir duquel la distance <math>d(f_n(y),f(y))</math> devient très petite peut être différent.
- Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance <math>d(f_n(x),f(x))</math> devient très petite pour n'importe quel <math>x\in A</math> à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).
Ainsi la suite des fonctions <math>x\mapsto\sum_{k=0}^nx^k</math> converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.
Critère de Cauchy uniforme
Supposons que l'espace métrique Modèle:Math est complet.
(C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques usuels, comme la droite réelle munie de sa valeur absolue ou, plus généralement, les espaces de Banach.)
Sous cette hypothèse, une suite de fonctions Modèle:Math converge uniformément sur Modèle:Mvar si (et seulement si) elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :
- <math>\forall \varepsilon>0\quad\exists N_{\varepsilon}\in\N\quad\forall p,q\in\N\quad\left[p,q \ge N_\varepsilon\Rightarrow\forall x\in A\quad d(f_p(x),f_q(x))\le\varepsilon\right]</math>.
Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme. En outre, lorsque Modèle:Mvar est muni d'une topologie pour laquelle les Modèle:Math sont continues, le critère est vérifié sur Modèle:Mvar dès qu'il l'est sur une partie dense de Modèle:Mvar.
Convergence uniforme de fonctions continues
On a le résultat fondamental suivant :
Modèle:Énoncé Ou encore (par contraposition) une fonction discontinue ne peut pas être limite uniforme de fonctions continues. Modèle:Démonstration
Ceci s'applique en particulier aux fonctions continues sur ℕ ∪ {∞} (dans lequel ℕ est dense), c'est-à-dire aux suites convergentes : dans un espace complet, si chaque Modèle:Math est une suite convergente et si la suite de suites Modèle:Math converge uniformément vers une suite Modèle:Mvar, alors cette suite Modèle:Mvar est convergente.
Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, <math>\left(1+\frac zn\right)^n</math> Modèle:Lien de ℂ vers [[Exponentielle complexe|Modèle:Math]] quand l'entier Modèle:Mvar tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général.
En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur « suffisamment » de parties de Modèle:Mvar suffit à assurer la continuité de la fonction limite.
Exemples
- Lorsque Modèle:Mvar est localement compact, si une suite Modèle:Math de fonctions continues converge vers une fonction Modèle:Mvar uniformément sur tout compact de Modèle:Mvar alors Modèle:Mvar est continue.
- On a la même conclusion lorsque Modèle:Mvar est un espace métrique et Modèle:Mvar un point arbitraire fixé de Modèle:Mvar, si la convergence uniforme a lieu sur toute boule fermée de centre Modèle:Mvar. C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.
Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.
Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe :
On notera également l'existence du résultat suivant, assurant la convergence d'une suite de fonctions à partir de celle de leurs dérivées<ref>Modèle:Ouvrage, th. 7.17.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage, th. 19.</ref> :
Distance uniforme
Dans le cas général, on munit l'ensemble YX des applications de X dans Y de la distance uniforme sur Modèle:Mvar, définie par
- <math>e_{\infty,X}(f,g)=\min(1,d_{\infty,X}(f,g))</math>
où, rappelons-le,
- <math>d_{\infty,X}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>.
On peut alors reformuler l'essentiel de ce qui précède :
- Définition de la convergence uniforme : Modèle:Math converge uniformément vers Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar si et seulement si <math>\lim_{n\to\infty}f_n=f</math> dans l'espace métrique <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math>.
- Critère de Cauchy uniforme : si Modèle:Math est complet alors <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math> l'est aussi.
- Convergence uniforme de fonctions continues : si Modèle:Mvar est muni d'une topologie, le sous-ensemble <math>\mathcal C(X,Y)</math> des applications continues est fermé dans <math>(Y^X,e_{\infty,X})</math> (donc est complet si Modèle:Mvar l'est).
Diverses hypothèses sur les espaces Modèle:Mvar et Modèle:Mvar peuvent simplifier ou enrichir cette situation :
- Si Modèle:Mvar est un espace compact alors sur <math>\mathcal{C}(X,Y)</math>, l'application <math>d_{\infty,X}</math> est déjà une distance (sur ce sous-espace, elle ne prend que des valeurs finies), et est uniformément équivalente à <math>e_{\infty,X}</math>.
- Si de plus Modèle:Mvar est un espace vectoriel normé (dont la distance Modèle:Mvar est celle associée à la norme ║ ║ par : <math>d(y,y')=\|y-y'\|</math>), alors <math>\mathcal C(X,Y)</math> est un espace vectoriel, sur lequel la distance <math>d_{\infty,X}</math> est, elle aussi, associée à une norme, définie par :Modèle:RetraitEn particulier si Modèle:Mvar est un espace de Banach alors <math>\mathcal{C}(X,Y)</math> aussi.
Critères de convergence uniforme pour les séries
Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.
On trouve dans la littérature<ref>Voir par exemple {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Konrad Knopp, Modèle:Lang, 1922 (ou sa traduction, {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Knopp, Modèle:Lang, 1954).</ref> la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass… Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.
Critère de Weierstrass
Modèle:Début citation La série <math>\sum a_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si les fonctions <math>a_n(x)</math> sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle Modèle:Mvar par un nombre <math>\alpha_n</math> et que la série <math>\sum \alpha_n</math> est convergente.Modèle:Fin citation
On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.
Critère d'Abel
Modèle:Début citationLa série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si la série <math>\sum a_n\left(x\right)</math> converge uniformément dans Modèle:Mvar, si de plus, pour toute valeur fixée de Modèle:Mvar, la suite <math>b_n(x)</math> est monotone et enfin s'il existe un nombre Modèle:Mvar indépendant de Modèle:Mvar qui majore <math>|b_n(x)|</math> pour tout Modèle:Mvar de Modèle:Mvar et tout Modèle:Mvar.Modèle:Fin citation On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions <math>b_n(x)</math> sont uniformément bornées dans Modèle:Mvar.
Critère de Dirichlet
Modèle:Début citationLa série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si les sommes partielles de la série <math>\sum a_n(x)</math> sont uniformément bornées dans Modèle:Mvar et si les fonctions <math>b_n(x)</math> convergent uniformément dans Modèle:Mvar vers 0, la convergence étant monotone pour tout Modèle:Mvar fixé.Modèle:Fin citation
Critère de Dedekind
Modèle:Début citationLa série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si la série <math>\sum a_n(x)</math> admet des sommes partielles uniformément bornées, les fonctions <math>b_n(x)</math> tendent vers 0 uniformément dans Modèle:Mvar et que la série <math>\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|</math> converge uniformément dans Modèle:Mvar.Modèle:Fin citation
Critère de du Bois-Reymond
Modèle:Début citation La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si les séries <math>\sum a_n(x)</math> et <math>\sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)|</math> convergent uniformément dans Modèle:Mvar, les fonctions <math>b_n(x)</math> étant de plus uniformément bornées dans Modèle:Mvar.Modèle:Fin citation
Un autre critère
Modèle:Début citation La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si les séries <math>\sum a_n\left(x\right)</math> et <math>\sum\left|a_n\left(x\right)\right|</math> convergent uniformément dans Modèle:Mvar, les fonctions <math>b_n(x)</math> étant de plus uniformément bornées dans Modèle:Mvar.Modèle:Fin citation
dont un corollaire immédiat est
Modèle:Début citation La série <math>\sum a_n(x)b_n(x)</math> converge uniformément dans l'intervalle Modèle:Mvar si la série <math>\sum a_n(x)</math> converge uniformément dans Modèle:Mvar, les fonctions <math>a_n(x)</math> étant positives et les fonctions <math>b_n(x)</math> étant uniformément bornées dans Modèle:Mvar.Modèle:Fin citation
Espace des fonctions numériques continues sur Modèle:Math
On choisit dans cette section Modèle:Math un intervalle compact de ℝ et Modèle:Mvar = ℝ. Puisque ℝ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé <math>\mathcal{C}([a,b],\R)</math> muni de la norme <math>\|\cdot\|_{\infty,[a,b]}</math> est complet.
Théorème de Weierstrass
Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur Modèle:Math par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si Modèle:Mvar est une fonction continue sur Modèle:Math alors :
où ℝ[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.
Exemples
Exemples de suites de fonctions
La suite de fonctions puissances
On considère la suite de fonctions <math>(x \mapsto x^n)_{n\in\N}</math>. Cette suite de fonctions converge simplement sur Modèle:Math vers la fonction Modèle:Mvar définie par
- <math>f(x)=
\begin{cases} 0 & \text{si }x \in]-1,1[,\\ 1 & \text{si }x=1. \end{cases}</math>
Puisque les fonctions de la suite sont continues et que la limite simple Modèle:Mvar n'est pas continue (en Modèle:Math), la convergence n'est pas uniforme sur Modèle:Math. Par densité, elle ne l'est donc pas non plus sur Modèle:Math.
Par contre, la convergence est uniforme sur tout segment Modèle:Math avec Modèle:Math puisque
- <math>
\|x \mapsto x^n \|_{\infty,[-a,a]}=a^n </math> qui converge vers Modèle:Math lorsque Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math.
Exemples de séries de fonctions
La série de fonctions puissances
On considère la série de fonctions <math> \sum_{n \geqslant 0} f_n </math> définie par
- <math> f_n(x)=x^n</math>.
La série numérique <math>\sum_{n\geqslant0}x^n</math> converge si et seulement si Modèle:Math. De plus, la somme partielle est
- <math>
S_n(x)=1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} </math>.
Ainsi, cette suite de fonctions converge simplement sur Modèle:Math vers la fonction Modèle:Mvar définie par
- <math>S(x)=\frac1{1-x}
</math>.
La convergence n'est pas uniforme sur Modèle:Math : en effet, le reste d'ordre Modèle:Mvar est
- <math>
R_n(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x} </math>.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
Gilbert Arsac, Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme - De la difficulté historique du raisonnement sur les limites, Hermann, 2013
