Fonction exponentielle

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Modèle:Voir homonymes Modèle:Infobox Fonction mathématique

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée Modèle:Math qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur Modèle:Math en Modèle:Math. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ».

On note Modèle:Math la valeur de cette fonction en Modèle:Math. Ce [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]] qui vaut approximativement Modèle:Math s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle :

<math>\forall x\quad \exp(x) = \mathrm e^x</math>.

La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur Modèle:Math en Modèle:Math. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées [[exponentielle de base a|exponentielles de base Modèle:Mvar]].

On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière.

C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme Modèle:Math.

Fonction exponentielle réelle

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possibles pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (la dérivée est égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (elle transforme une somme en produit), ou par son développement en série.

Par une équation différentielle

Fichier:Exp tangent.svg
Courbe d'équation Modèle:Math et quelques sous-tangentes.

Modèle:Théorème

Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de Modèle:Math. La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel Modèle:Math de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse Modèle:Math avec l'axe des Modèle:Math, est constante et vaut 1. On montre de plus que Modèle:Math ne s'annule jamais.

Modèle:Démonstration

À partir de la fonction logarithme népérien

Modèle:Théorème En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, et de limites infinies aux bornes, elle définit une bijection de ℝModèle:Indexp sur ℝ. Sa réciproque est une fonction Modèle:Math définie sur ℝ vérifiant Modèle:Math car Modèle:Math. La fonction Modèle:Math étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout réel Modèle:Math,

<math> f'(x)=\frac1{\ln'(f(x))}=f(x).</math>

Caractérisation algébrique

Modèle:Article détaillé La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l'on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur Modèle:Math en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base Modèle:Math. On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base Modèle:Math.

Modèle:Théorème

On détermine Modèle:Math sur les entiers puis sur les rationnels puis sur les irrationnels par continuité. On démontre à partir de cette définition (voir l'article détaillé) que la fonction Modèle:Math est non seulement continue mais dérivable et égale à sa propre dérivée. On retrouve ainsi la définition ci-dessus de l'exponentielle par une équation différentielle.

Il est possible de s'affranchir de la nécessité de connaître au préalable Modèle:Math par la caractérisation suivante:

Modèle:Théorème

On s'inspire de l'égalité Modèle:Retrait pour introduire une nouvelle notation pour la fonction Modèle:Math : Modèle:Retrait

Toutes les fonctions exponentielles de base Modèle:Math s'expriment à l'aide de la fonction Modèle:Math et de la fonction logarithme népérien :

<math>\exp_a(x)=a^x=\mathrm e^{x\ln(a)}.~</math>

Par une série

Fichier:Exp series.gif
La fonction exponentielle et son approximation autour de zéro par les premiers termes de la série.

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle Modèle:Math ou encore Modèle:Math comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

<math>\exp(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} {x^n \over n!}</math>,

Modèle:Math est la factorielle de Modèle:Math.

Modèle:Démonstration

C'est également cette série qu'on obtient en appliquant la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz<ref>Modèle:Lien web.</ref>,<ref>Modèle:Lien web.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage élargit cette remarque aux fonctions Modèle:Math et Modèle:Ouvrage, aux exponentielles matricielles.</ref>, c'est-à-dire en construisant la [[#Par une équation différentielle|solution Modèle:Math de l'équation différentielle]] comme limite de la suite de fonctions Modèle:Math définie par [[Fonction constante|Modèle:Math]] et

<math>u_{n+1}(t)=1+\int_0^t u_n(s)\,\mathrm ds.</math>

On déduit de cette série entière l'un des nombreux développements en fraction continue généralisée de la fonction exponentielle :

<math>{\rm e}^x=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{x\mid}{\mid1+x}-\frac{x\mid}{\mid2+x}-\frac{2x\mid}{\mid3+x}-\frac{3x\mid}{\mid4+x}-\frac{4x\mid}{\mid5+x}-\cdots.</math>

Une analyse détaillée d'expressions de cette nature est proposée dans l'article « Approximant de Padé de la fonction exponentielle ».

Étude de la fonction exponentielle

La fonction Modèle:Math prend en Modèle:Math une valeur notée [[e (nombre)|Modèle:Math]], qui vaut environ Modèle:Math et est un nombre transcendant.

La première des quatre définitions équivalentes ci-dessus montre que la fonction Modèle:Math est de [[Classe de régularité|classe CModèle:Math]]. La dernière montre qu'elle est même analytique.

Chacune des trois premières montre que la fonction Modèle:Math est strictement croissante de ℝ dans ℝ*+ et que Modèle:Retrait

Plus précisément — voir l'article « [[Indétermination de la forme ∞/∞|Indétermination de la forme Modèle:Math]] » — la fonction Modèle:Math tend vers Modèle:Math plus rapidement que toute fonction polynomiale quand sa variable tend vers Modèle:Math, c'est-à-dire que

<math>\lim_{x\to +\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=+\infty</math>

quel que soit l'entier naturel Modèle:Math. Par changement de variable, on en déduit

<math>\lim_{x\to -\infty}x^n\exp(x)=0.</math>

La croissance de Modèle:Math peut se déduire de la positivité de sa dérivée Modèle:Math. De même, puisque sa dérivée seconde Modèle:Math est strictement positive, la fonction Modèle:Math est strictement convexe.

Propriétés

La fonction exponentielle, de ℝ sur ℝ*+, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math,

Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math, Modèle:Math.

On en déduit que pour tout réel Modèle:Math et tout rationnel Modèle:Math, Modèle:Math.

Pour Modèle:Math irrationnel, cette équation peut tenir lieu de définition, c'est-à-dire que l'une des façons de définir l'[[Exponentielle de base a|exponentielle de base Modèle:Math]] est de poser, pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math : Modèle:Math.

Généralisation à d'autres ensembles

Dans le plan complexe

Définitions

On peut définir la fonction Modèle:Math complexe de deux façons :

  1. En utilisant la propriété :Modèle:Retraiton écritModèle:RetraitModèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des nombres réels.
    La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques.
  2. En utilisant le développement en série de l'exponentielle, on étend celle-ci au plan complexe :Modèle:Retrait

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes :

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries, selon le mode de définition de l'exponentielle.

C'est une fonction périodique, de période le nombre imaginaire pur Modèle:Math. Cette périodicité entraînant la non-injectivité, prolonger le logarithme népérien à l'ensemble des nombres complexes donne naturellement une fonction multiforme Modèle:Math, appelée logarithme complexe.

L'exponentielle plus générale : pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, Modèle:Retrait est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

La fonction exponentielle complexe transforme l'axe imaginaire pur en le cercle unité. C'est la fonction que l'on utilise pour montrer que la droite réelle est un revêtement du cercle unité.

Représentations

Si <math>w=x+\mathrm iy</math> on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions <math>w\mapsto\Re(\exp(w))</math>, <math>w\mapsto\Im(\exp(w))</math>, <math>w\mapsto|\exp(w)|</math> et <math>w\mapsto\arg(\exp(w))</math>

Pour d'autres représentations de l'exponentielle complexe, se référer à Modèle:Commons-inline.

Fonctions exponentielles dans d'autres espaces

Exponentielle d'une matrice

Modèle:Article détaillé La définition de l'exponentielle comme série entière permet de définir l'exponentielle d'une matrice carrée Modèle:Math comme

<math>\exp(M)=\mathrm e^M=\sum_{k=0}^\infty{1\over k!}M^k</math>.

Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles linéaires.

Exponentielle d'un opérateur différentiel

On peut de même définir l'exponentielle d'un opérateur différentiel Modèle:Mvar par :

<math>\exp(D)=\mathrm e^D=\sum_{k=0}^\infty{1\over k!}D^k</math>.

Par exemple, quand <math>D=a\frac\mathrm d{\mathrm dx}</math> où Modèle:Mvar est une constante :

<math>\exp\left(a\frac\mathrm d{\mathrm dx}\right)=\mathrm e^{a\frac\mathrm d{\mathrm dx}}=\sum_{k=0}^\infty{a^k\over k!}\left(\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}\right)</math>,

si bien que pour toute fonction Modèle:Math analytique, on a

<math>\mathrm e^{a\frac\mathrm d{\mathrm dx}}f(x)=f(x+a)</math>,

un avatar de la formule de Taylor<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Exponentielle dans un groupe additif

Modèle:Article détaillé La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de ℝ vers tout groupe topologique. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu ℝ → G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.

Exponentielle dans une variété différentielle

Modèle:Article détaillé La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes

Exponentielle dans une algèbre de Banach

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de la définir sur des algèbres de Banach (voir l'article Calcul fonctionnel).

Applications

Équation différentielle linéaire

Modèle:Article détaillé L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont proportionnelles à leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

<math>\frac {\mathrm d}{\mathrm d x}\lambda \mathrm e^{ax} = a \lambda \mathrm e^{ax}</math>

ou plus exactement, la fonction <math>\varphi : x\mapsto \lambda \mathrm e^{ax}</math> est l'unique solution de l'équation fonctionnelle

<math>\varphi' = a \varphi \ \text{ et } \ \varphi(0) = \lambda</math>

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base Modèle:Math est solution de l'équation différentielle élémentaire :

<math>y' = y</math>

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction trigonométrique

Modèle:Article détaillé La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition Modèle:Math) nous donnent un lien direct entre les fonctions cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

<math>\cos x ={{\rm e}^{{\rm i}x}+{\rm e}^{-{\rm i}x} \over 2}</math>
<math>\sin x ={{\rm e}^{{\rm i}x}-{\rm e}^{-{\rm i}x} \over 2{\rm i}}</math>

Ces formules permettent de retrouver la plupart des identités trigonométriques, en particulier

<math>\cos(a+b)= \cos(a) \cos(b) -\sin(a) \sin(b) ~</math>
<math>\sin(a+b)= \sin(a) \cos(b) +\sin(b) \cos(a) ~</math>

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile de linéariser les expressions de la forme Modèle:Math : voir le § « Linéarisation » de l'article sur les identités trigonométriques.

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, Modèle:Math et sinus hyperbolique, Modèle:Math, utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

<math>\operatorname{cosh} x = \frac{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}{2}</math>
<math>\operatorname{sinh} x = \frac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{2}</math>

Théorie de Fourier

Modèle:Article détaillé Les fonctions exponentielles <math>t \mapsto{\rm e}^{{\rm i}kt}</math> où Modèle:Mvar est un réel et Modèle:Mvar un entier relatif sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.

Fonction sigmoïde

Modèle:Article détaillé La fonction sigmoïde <math> f(x)=\frac{1}{1 + {\rm e}^{- x}}</math> pour tout réel <math>x</math> est particulièrement utile dans les réseaux de neurones pour calculer le gradient de l'erreur.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Articles connexes

Modèle:Colonnes

Liens externes

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