Trigonométrie complexe
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Extension des fonctions circulaires
Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques satisfont les égalités suivantes :<math display="block">\begin{cases} \sin z & = \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2\mathrm{i}} = \frac{\sinh (\mathrm{i} z)}{\mathrm{i}} = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k z^{2 k + 1}}{ \left( 2 k + 1 \right) !} \\ \cos z & = \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2} = \cosh (\mathrm{i} z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(-1)^k z^{2 k}}{\left( 2 k \right) !} \\ \tan z & = \displaystyle \frac{\sin( z)}{\cos(z)} = - \mathrm{i} \frac{\sinh (\mathrm{i} z)}{\cosh (\mathrm{i} z)} = -\mathrm{i} \tanh (\mathrm{i} z) = - \mathrm{i} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}} \end{cases}.</math>De même que leurs fonctions réciproques <math>\arcsin z=-\mathrm{i} \ln\left(\mathrm{i} z+\sqrt{1-z^2}\right)</math>, <math>\arccos z=-\mathrm{i} \ln \left( z + \sqrt{z^2-1}\right)</math> et <math>\arctan z = \frac{\mathrm{i}}{2} \left[ \ln \left(1-\mathrm{i} z \right) - \ln ( 1 + \mathrm{i} z ) \right]</math>. Ces fonctions réciproques souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.
Rappel : <math>\mathrm{e}^{a + \mathrm{i} b} = \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{\mathrm{i} b} = \mathrm{e}^a \left( \cos (b) + \mathrm{i} \sin (b)\right)</math>.
Formules d'addition
Pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on a par exemple<math display="block">\begin{align} \cosh ( a + b ) & = \cosh a \cosh b +\sinh a \sinh b\\ \cos ( a + b ) & = \cos a \cos b - \sin a \sin b \end{align}.</math> Modèle:Démonstration
d'où (en remplaçant Modèle:Mvar par Modèle:Math) :
\cosh(a+{\rm i}b)&=\cosh a\cos b+{\rm i}\sinh a\sin b,\\
\cos(a+{\rm i}b)&=\cos a\cosh b-{\rm i}\sin a\sinh b.\end{align}</math>Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour Modèle:Math et Modèle:Math, Il vaut mieux utiliser leurs définitions, soit <math display="block">\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z} , \quad \tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z} , \quad \coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z}.</math>
