Ensemble de définition
En mathématiques, l'ensemble de définition (également appelé domaine de définition ou parfois ensemble de départ, voir la discussion plus bas) d'une application ou d'une fonction désigne informellement l'ensemble des entrées acceptées par elle.
La terminologie entre ensemble de définition et ensemble de départ diffère si l'on fait la distinction entre la notion de fonction et d'application ou non<ref>Voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails</ref>.
- Pour une application Modèle:Math (ou pour une fonction si on ne fait pas cette distinction), les notions d'ensemble de définition et d'ensemble de départ sont confondues, il s'agit de l'ensemble Modèle:Math, autrement dit c'est l'ensemble des Modèle:Math pour lesquels Modèle:Math est défini.
- Si on fait la distinction entre application et fonction, une fonction Modèle:Math peut ne pas être une application, son ensemble de définition, noté ici Modèle:Math, peut différer de son ensemble de départ Modèle:Math. L'ensemble de définition Modèle:Math est alors l'ensemble des éléments Modèle:Math de Modèle:Math pour lesquels Modèle:Math est défini ; la différence avec les applications étant qu'il peut exister des Modèle:Math de Modèle:Math pour lesquels on ne définit pas Modèle:Math. Dans ce cas l'ensemble de définition Modèle:Math n'est pas égal à l'ensemble de départ Modèle:Math.
Lorsque l'ensemble de définition est simplement un intervalle, l'ensemble de définition est parfois appelée intervalle de définition.
Exemple
Dans le cas où on distingue les notions de fonction et d'application, considérons
- <math>\begin{array}{ccccc}f&:&\R&\to&\R\\&&x&\mapsto&\frac1x~.\end{array}</math>
C'est une fonction dont l'ensemble de départ est <math>\R</math>. Cependant, son ensemble de définition <math>D_f</math> ne peut pas être égale à l'ensemble de départ <math>\R</math> puisqu'elle n'est pas définie en 0 : « Modèle:Math » n'est pas défini, car il est impossible de diviser par 0. Ce n'est donc pas une application.
Il faut donc préciser ici, pour définir complètement cette fonction, son ensemble de définition <math>D_f</math> (ce qui n'est pas encore fait à ce stade). Il y a ici une infinité de choix possibles : tout sous-ensemble de l'ensemble de départ <math>\R</math> ne contenant pas 0 convient. Un choix « naturel » est simplement <math>D_f = \R^*=\R\setminus\{0\}</math>.
Restriction et prolongement
Restriction pour une application
En partant d'une application Modèle:Math d'ensemble de définition A, il est toujours possible de construire une autre application en restreignant l'ensemble de définition. Si Modèle:Math est un sous-ensemble de Modèle:Math, alors
- <math>\begin{array}{ccccc}f_{|E}&:&E&\to&B\\&&x&\mapsto&f(x)\end{array}</math>
définie une application appelée restriction de f à E. Son ensemble de définition (qui est aussi son ensemble de départ) est alors E.
Restriction pour une fonction
Pour une fonction Modèle:Math d'ensemble de départ Modèle:Math et d'ensemble de définition Modèle:Math, deux opérations de restrictions sont possibles: restriction de l'ensemble de départ A ou restriction de l'ensemble de définition Modèle:Math.
- On peut restreindre l'ensemble de définition Modèle:Math à un sous-ensemble de Modèle:Math. Par exemple, on peut considérer la fonction
- <math>\begin{array}{ccccc}g:&\R&\to&\R\\&x&\mapsto&\frac1x\end{array}</math>
- d'ensemble de définition <math>D_g = \;]0,+\infty[</math> qui est la restriction de la fonction
- <math>\begin{array}{ccccc}f:&\R&\to&\R\\&x&\mapsto&\frac1x\end{array}</math>
- d'ensemble de définition <math>D_f = \R^*</math>.
- On peut restreindre l'ensemble de départ Modèle:Math à un sous-ensemble E de A comme on l'a fait pour les applications, dans ce cas il faut s'assurer que l'ensemble de définition de la nouvelle fonction est inclus dans E. Un choix naturel est de considérer l'intersection <math>E \cap D_f</math> (mais tout sous-ensemble de cet ensemble conviendrait également).
L'un des intérêts de l'opération de restriction de l'ensemble de départ est qu'il est toujours possible de transformer une fonction Modèle:Math en application en restreignant son ensemble de départ à son ensemble de définition Modèle:Math en posant
- <math>\begin{array}{ccccc}f_{|D_f}&:&D_f&\to&B\\&&x&\mapsto&f(x)\end{array}</math>
Cela définit une application. Par exemple, en reprenant l'exemple de la fonction
- <math>\begin{array}{ccccc}f&:&\R&\to&\R\\&&x&\mapsto&\frac1x~.\end{array}</math>
d'ensemble de définition <math>D_f = \R^*</math>, poser
- <math>\begin{array}{ccccc}f_{|\R^*}:&\R^*&\to&\R\\&x&\mapsto&\frac1x\end{array}</math>
définit une application.
Prolongement d'une fonction
Pour une fonction Modèle:Math d'ensemble de départ A et d'ensemble de définition Modèle:Math, on peut construire une application en définissant les valeurs de f(x) pour tous les x de A qui ne sont pas dans Modèle:Math (c'est-à-dire pour lesquelles f(x) n'est pas définie).
Par exemple, toujours en considérant
- <math>\begin{array}{ccccc}f&:&\R&\to&\R\\&&x&\mapsto&\frac1x~.\end{array}</math>
d'ensemble de définition <math>D_f = \R^*</math>, on définit un prolongement en posant
- <math>\begin{array}{ccccc}\widetilde f&:&\R&\to&\R\\&&x&\mapsto& \left\{\begin{array}{ll} \frac1x~ & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0)\end{array}\right. \end{array}</math>
Cela définit une application. Le choix de la valeur <math>\widetilde f(0)=0</math> est ici arbitraire, tout autre nombre réel aurait convenu.
Assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.
Notes et références
Article connexe
- Ensemble de définition d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)
