Ensemble d'arrivée
En mathématiques, pour une application ou une fonction<ref>Selon les sources, il y a distinction ou non entre les notions de fonction et d'application, voir Application_(mathématiques)#Fonction_et_application pour plus de détails. Ce qui est énoncé dans cet article est valable que la distinction soit faite ou non.</ref> donnée Modèle:Math, l'ensemble Modèle:Mvar est appelé l'ensemble d'arrivée (on dit parfois le but de Modèle:Mvar ou le codomaine de Modèle:Mvar).
L'ensemble d'arrivée ne doit pas être confondu avec l'image Modèle:Math de Modèle:Mvar, qui est en général seulement un sous-ensemble de Modèle:Mvar.
Exemple
Soit la fonction Modèle:Mvar sur l'ensemble des nombres réels définie par
- <math>\begin{matrix}
f&:&\R&\to&\R\\ &&x&\mapsto&x^2. \end{matrix}</math>
L'ensemble d'arrivée de Modèle:Mvar est <math>\R</math> mais Modèle:Math ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle <math>\left[0, +\infty\right[=\R_+</math> des réels positifs.
- <math>f\left(\R\right)=\left[0, +\infty\right[</math>.
Nous aurions pu définir une fonction Modèle:Math ainsi :
- <math>\begin{matrix}
g&:&\R&\to&\left[0, +\infty\right[\\ &&x&\mapsto&x^2. \end{matrix}</math>
Tandis que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.
Surjectivité
L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, Modèle:Mvar est surjective alors que Modèle:Mvar ne l'est pas.
De manière générale, une application Modèle:Math est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire <math>f(A) = B</math>.
À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application <math>f:A\rightarrow B</math> construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de <math>f</math> : l'application <math>g:A\rightarrow f(A)</math> définie par <math>g(x) = f(x)</math> pour tout <math>x</math> dans <math>A</math> est surjective.
