Formule de Moivre
La formule de Moivre<ref group=alpha>Elle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais Formula of De Moivre ou du consacré De Moivre's formula. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les recommandations des conventions typographiques dérivées du Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale à sa Modèle:P. ; un extrait de celles-ci figure en page de discussion du présent article.</ref> affirme que, pour tout nombre réel Modèle:Mvar et pour tout entier relatif Modèle:Mvar :
- <math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^n=\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)\quad (1)</math>
Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.
Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « Modèle:Formule » par « Modèle:Formule ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance Modèle:Mvar, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.
Interprétation géométrique
Pour Modèle:Mvar réel, l'égalité « Modèle:Formule » entraîne que le nombre complexe Modèle:Formule a pour Modèle:Nobr Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de Modèle:Nobr forment le cercle C de centre O et de Modèle:Nobr (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe Modèle:Mvar appartient à C. Si I est le point Modèle:Nobr l'angle (OI, OM) mesure Modèle:Nobr. La formule de Moivre affirme que Modèle:Mvar est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure Modèle:Nobr.
La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux nombres complexes de Modèle:Nobr, on place les points M et N d'affixes respectives Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, et on obtient Modèle:Mvar comme l'affixe du point P de C tel que Modèle:Nobr. On dispose alors de la formule générale :
- <math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\left(\cos y+\mathrm i \sin y\right)=\cos(x+y)+\mathrm i\sin(x+y)\quad (2)</math>
qui (en développant le membre de gauche) équivaut aux formules d'addition pour le cosinus et le sinus.
Historique
La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale<ref>Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133.</ref> d'Euler qui la démontre<ref>Énoncée plus que démontrée selon Modèle:Harvsp.</ref>, pour tout entier naturel Modèle:Mvar, en 1748. Mais elle apparait de manière implicite<ref>Modèle:Harvsp.</ref> chez Abraham de Moivre à plusieurs reprises à partir de 1707<ref>Dès 1707, dans les Philosophical Transactions, Modèle:N°, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la Modèle:3e, Modèle:5e, Modèle:7e et des puissances supérieures (Modèle:Google Livres), puis en 1730 dans ses Miscellanea Analytica, Londres, Modèle:P. et dans les Philosophical Transactions de 1738, Modèle:N°, problème III (Modèle:Google Livres).</ref>, dans ses travaux sur les racines Modèle:Mvar-ièmes de nombres complexes. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que Modèle:Formule est équivalent à dire que Modèle:Formule est une des [[Racine d'un nombre#Racines d'un complexe|racines Modèle:Mvar-ièmes]] du complexe Modèle:Formule.
Démonstration
On démontre (1) dans un premier temps pour Modèle:Formule par récurrence sur Modèle:Mvar.
- Pour Modèle:Formule, la formule est vraie puisque Modèle:Formule et par convention, Modèle:Formule.
- Soit un entier Modèle:Formule. Supposons la formule vraie pour Modèle:Mvar. Alors,
- <math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^k=\cos(kx)+\mathrm i\sin(kx)</math>
Ce qui donne :
- <math>
\begin{alignat}{2}
\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)\\
& = \left[\cos\left(kx\right) + \mathrm i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)
\end{alignat}
</math>
Par la formule (2), il vient :
- <math>\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^{k+1}=\cos((k+1)x)+\mathrm i\sin((k+1)x)</math>
Nous en déduisons que la formule est vraie au rang Modèle:Formule.
D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels.
Lorsque Modèle:Formule, nous considérons l'entier Modèle:Math tel que Modèle:Formule. Ainsi
- <math>
\begin{alignat}{2}
\left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{-m}\\
& = \frac{1}{\left(\cos x + \mathrm i\sin x\right)^{m}}\\
& = \frac1{\cos mx + \mathrm i\sin mx}\\
& = \cos\left(mx\right) - \mathrm i\sin\left(mx\right)\\
& = \cos\left(-mx\right) + \mathrm i\sin\left(-mx\right)\\
& = \cos\left(nx\right) + \mathrm i\sin\left(nx\right).
\end{alignat} </math>
Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs Modèle:Mvar, c.q.f.d..
Utilisations de la formule de Moivre
Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances nièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :
- <math>z^n= r^n(\cos(nx)+ \mathrm i \sin(nx)\,)</math>
ainsi que pour obtenir les formes de Modèle:Formule et Modèle:Formule en fonction de Modèle:Formule et Modèle:Formule.
Par exemple, pour avoir Modèle:Formule et Modèle:Formule, on égale :
- <math>(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^2 = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\ </math>
On a :
- <math>\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm i-\sin^2(x)\,</math><math>=\cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\,</math>
On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :
- <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\,</math>
- <math>\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,</math>
On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.
Polynômes de Tchebychev
La formule de Moivre donne :
- <math>\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)}^n=\sum_{p=0}^n {n \choose p}\cos^{n-p} (x)\mathrm i^{p}\sin^{p}(x)</math>
En prenant la partie réelle et en posant Modèle:Formule, il vient :
- <math>\cos(nx)=T_n(\cos x)</math>
où Modèle:Mvar est un polynôme de degré Modèle:Formule, appelé polynôme de Tchebychev.
- <math>T_n(X)=\sum_{0\leq 2k\leq n} {n \choose 2k}(-1)^kX^{n-2k}(1-X^2)^k</math>
