Nombre imaginaire pur
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Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme Modèle:Math avec Modèle:Math réel, Modèle:Math étant l'unité imaginaire. Par exemple, Modèle:Math et Modèle:Math sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à Modèle:Mathℝ (aussi noté Modèle:Math).
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif ou nul, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, les travaux de Cardan et de Raphaël Bombelli ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs. Considérés dans un premier temps comme « imaginaires » ou « inconcevables », ils ont fini par être considérés comme des nombres à part entière au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle.
Définition
Dans le corps des nombres complexes, on choisit un élément dont le carré vaut −1, que l'on note Modèle:Math. On appelle alors « imaginaires purs » les nombres Modèle:Math de la forme Modèle:Math où Modèle:Math est un réel. Ce réel Modèle:Math est alors égal à la partie imaginaire de Modèle:Math. Un nombre complexe Modèle:Math est un imaginaire pur si et seulement si l'une des propriétés suivantes est réalisée :
- la partie réelle de Modèle:Math est nulle ;
- Modèle:Math (où Modèle:Math est le conjugué de Modèle:Math) ;
- Modèle:Math est nul ou bien son argument vaut Modèle:Math [[Groupe quotient|modulo Modèle:Math]] ;
- Le nombre Modèle:Math est un réel ;
- Modèle:Math est un nombre réel négatif.
Les racines carrées d'un nombre réel sont soit réelles, quand ce nombre est positif, soit imaginaires pures quand ce nombre est négatif. Les racines carrées du nombre réel négatif Modèle:Math (avec Modèle:Math réel) sont les imaginaires purs Modèle:Math et Modèle:Math.
Axe des imaginaires purs
Le plan d'Argand est une représentation géométrique des nombres complexes par les points d'un plan euclidien. Il comporte deux axes gradués orthogonaux. Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs. Sur ce deuxième axe, l'unité est Modèle:Math.
Un imaginaire pur z correspond alors à un point M de l'axe des imaginaires purs. Plus généralement, le nombre complexe Modèle:Math est l'affixe du point Modèle:Math de coordonnées Modèle:Math. Si Modèle:Math et Modèle:Math sont deux points distincts de l'origine, d'affixes respectives Modèle:Math et Modèle:Math, alors les droites Modèle:Math et Modèle:Math sont orthogonales si et seulement si le quotient Modèle:Math est un imaginaire pur.
Éléments d'histoire
Modèle:Article détaillé La première apparition d'une quantité de cette forme apparait chez Jérome Cardan en 1545 sous la forme d'une racine carrée d'un nombre négatif Modèle:Math. Ce n'est que plus tard qu'est privilégiée l'écriture Modèle:Math qui devient sous la plume de Leonhard Euler, en 1777, Modèle:Math. À cette époque, les nombres complexes, s'écrivant Modèle:Math, sont encore tous appelés imaginaires et les nombres s'écrivant seulement Modèle:Math sont désignés sous le nom de nombres simplement imaginaires. Lorsqu'en 1831, Carl Friedrich Gauss renomme les quantités Modèle:Math en nombres complexes, il appelle les nombres pour lesquels Modèle:Math est nul des nombres imaginaires purs.
