Carré (algèbre)
En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
Cette opération apparait dans les identités remarquables, permet de définir la fonction carré et les équations du second degré, et intervient de façon fondamentale dans le théorème de Pythagore et de nombreux autres résultats de toutes les branches des mathématiques. En algèbre géométrique, elle définit la mesure de l’aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté.
En informatique, le calcul du carré permet de simplifier le calculs des autres puissances par exponentiation rapide.
En physique, le carré apparait dans de nombreuses formules comme pour la cinétique de la chute libre ou la relation d’Einstein E = mc².
Opération numérique
Notation et premiers exemples
Modèle:Exemple encadré Le carré est défini pour tout nombre Modèle:Mvar comme le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même, et on le note avec un chiffre 2 en exposant : Modèle:Math.
Les carrés des premiers entiers naturels, appelés carrés parfaits ou nombres carrés, apparaissent sur la diagonale principale de la table de multiplication.
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Modèle:Exemple encadré Le carré d’un nombre a la même valeur que le carré de son opposé en vertu de la règle des signes. Mais les conventions sur l’ordre de priorité des opérations font qu’un signe moins (−) (associé par exemple à la notation d’un entier relatif) ne sera pas pris en compte dans le carré en l’absence de parenthèses. De la même manière, toute expression composée avec au moins un opérateur (somme, produit, fraction…) doit être encadrée par des délimiteurs (parenthèses ou crochets) avant d’être notée au carré.
Règles de calcul
Pour une somme ou une différence de deux nombres, le carré peut se calculer en appliquant les premières identités remarquables :
- <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
- <math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>.
La troisième identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés :
- <math>a^2 - b^2 = (a+b) \times (a-b)</math>.
Modèle:Exemple encadré Le carré d’une fraction est obtenu en calculant le quotient du carré du numérateur par le carré du dénominateur. Cette propriété est parfois transportée de façon erronée dans le calcul du carré des nombres décimaux.
L’identité de Brahmagupta permet d’exprimer le produit de deux sommes de deux carrés comme une somme de deux carrés : quels que soient les nombres Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar,
Inégalités
Tout entier naturel Modèle:Mvar est inférieur à son carré : Modèle:Math, avec une inégalité stricte dès que Modèle:Math. Modèle:Exemple encadré Cette inégalité est encore valable pour tous les nombres réels supérieurs à 1, ainsi que pour tous les négatifs, mais elle est fausse pour les réels entre 0 et 1. Ce phénomène se visualise sur la courbe de la fonction carré, qui est au-dessus de la première bissectrice sur Modèle:Math mais en dessous sur l’intervalle Modèle:Math.
De même, l’élévation au carré préserve les inégalités entre réels positifs :
- <math>\forall a,b \geqslant 0, \quad a \le b \iff a^2 \le b^2</math>
mais elle renverse les inégalités entre réels négatifs, et il n’y a pas de règle simple de passage au carré pour une inégalité entre réels quelconques. Ces propriétés correspondent au fait que la fonction carré est croissante sur Modèle:Math et décroissante sur Modèle:Math.
Équation
Une équation de la forme Modèle:Math, d’inconnue Modèle:Mvar, n’a de solution réelle que si le paramètre Modèle:Mvar est positif.
Si Modèle:Math, la seule solution est donnée par Modèle:Math.
Si Modèle:Math, il y a deux solutions réelles opposées définie avec la racine carrée : <math>x=\sqrt a</math> ou <math>x=-\sqrt a</math>.
Ces solutions ne sont entières que si Modèle:Mvar est un carré parfait, et ne sont rationnelles que si Modèle:Mvar est un quotient de carrés parfaits. En particulier, cette propriété implique l’irrationalité de la racine carrée de 2.
Si Modèle:Math, il existe deux solutions complexes qui peuvent s’écrire <math>\mathrm i\sqrt{\left|a\right|}</math> et <math>-\mathrm i\sqrt{\left|a\right|}</math>. Plus généralement, si Modèle:Mvar est un nombre complexe s’écrivant sous forme exponentielle Modèle:Math, alors l’équation Modèle:Math a deux solutions complexes opposées <math>\sqrt r.\mathrm e^{\mathrm i\theta/2}</math> et <math>\sqrt r.\mathrm e^{\mathrm i(\theta/2+\pi)}</math>.
Inéquation
Les inéquations de la forme Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math peuvent se résoudre à l’aide d’un tableau de signes de la différence Modèle:Math : <math>\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & &-\sqrt a& & \sqrt a & & +\infty \\ \hline x^2 - a & & + & 0& - & 0 & + & \\ \hline \end{array}</math>
Arithmétique
Dans l’ensemble des entiers naturels
Les carrés parfaits forment une suite infinie de nombres entiers (Modèle:OEIS) de densité nulle, dont les différences entre termes consécutifs forment la suite des entiers impairs, et dont la série associée est définie par les sommes partielles :
- <math>\sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>.
Le carré est utilisé dans certaines équations diophantiennes comme la relation Modèle:Math des triplets pythagoriciens.
Le théorème des quatre carrés montre que tout entier naturel se décompose en une somme de quatre carrés parfaits.
Le théorème des deux carrés de Fermat donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier Modèle:Mvar se décompose en une somme de deux carrés parfaits, en fonction de la décomposition en facteurs premiers de Modèle:Mvar.
Arithmétique modulaire
En arithmétique modulaire, si Modèle:Mvar est un nombre premier impair, l’ensemble des carrés modulo Modèle:Mvar non nuls forme un sous-groupe d’indice 2 dans le groupe Modèle:Math des résidus non nuls modulo Modèle:Mvar, appelés résidus quadratiques. La détermination du fait qu’un résidu Modèle:Mvar constitue un carré modulo Modèle:Mvar se formule avec le symbole de Legendre : <math>\left(\frac{r}{p}\right) = 1</math>. La détermination des résidus quadratiques modulo un entier naturel Modèle:Mvar quelconque repose sur le symbole de Jacobi.
La recherche des solutions d’une équation Modèle:Math modulo un entier Modèle:Mvar est équivalente à la décomposition en facteurs premiers de Modèle:Mvar.
Autres domaines
Ensemble de couples
Étant donné un ensemble Modèle:Mvar, son carré Modèle:Math est l’ensemble des couples d’éléments de Modèle:Mvar. Si Modèle:Mvar est fini, son cardinal s’écrit Modèle:Math. En particulier, pour un graphe avec un grand nombre de sommets Modèle:Mvar, l’ensemble des arêtes est décrit par une partie d’un ensemble de Modèle:Math éléments. Par exemple, si chaque sommet représente un site internet, comme il y a plus d’un milliard en 2021<ref>1 197 982 359 sites selon Web Server Survey le 12 février 2021.</ref>), les liens entre eux peuvent être représentés par une matrice de plus d’un milliard de milliards d’éléments.
La notation Modèle:Math désigne le plan euclidien muni d’un repère orthonormé par assimilation des points avec leur couples de coordonnées cartésiennes en géométrie analytique.
Algèbre linéaire
Pour une endomorphisme Modèle:Mvar sur un espace vectoriel Modèle:Mvar, le carré représente en général son itéré, c’est-à-dire la composée Modèle:Math de l’endomorphisme avec lui-même. Si l’endomorphisme est représenté par une matrice carrée Modèle:Mvar, son carré Modèle:Math est représenté par Modèle:Math.
Un projecteur est un endomorphisme Modèle:Mvar idempotent, c’est-à-dire satisfaisant la relation Modèle:Math. Un symétrie vectorielle est un endomorphisme Modèle:Mvar involutif, c’est-à-dire satisfaisant la relation Modèle:Math.
La résolution d’une équation de la forme Modèle:Math dans l’ensemble des matrices carrées peut être facilitée si l’endomorphisme Modèle:Mvar est diagonalisable. Dans ce cas, les espaces propres de Modèle:Mvar sont stables par Modèle:Mvar, et si les valeurs propres sont des carrés, chaque solution est définie par une famille de symétries vectorielles sur ces sous-espaces.
Probabilités et statistique
L’espérance du carré d’une variable aléatoire réelle Modèle:Mvar est son second moment Modèle:Math. Sa variance est égale d’après la formule de Koenig-Huygens à la différence entre l’espérance du carré et le carré de l’espérance : Modèle:Math, et définit alors le carré de l’écart type.
Caractère
En Unicode, le caractère est Modèle:Unichar.
Notes et références
Modèle:Références Source principale de cet article : cours de mathématiques niveau Modèle:3e / Modèle:2de
