Projecteur (mathématiques)

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Un exemple de projection

En algèbre linéaire, un projecteur (ou une projection) est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• une projection linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires, c'est-à-dire qu'elle permet d'obtenir un des termes de la décomposition correspondante ;
• une application linéaire idempotente : elle vérifie Modèle:Math.

Dans un espace hilbertien ou même seulement préhilbertien, une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale.

Définition de la projection vectorielle

Soient F un sous-espace vectoriel de E et G un supplémentaire de F dans E. N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : <math>\forall x \in E, \exists !(x',x) \in F \times G, x=x'+x</math>. La projection sur F parallèlement à G est alors l'application<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>\begin{matrix} p: & E = F \oplus G &\rightarrow E\\ & x = x' + x&\mapsto x'.\end{matrix}</math>

Propriétés

Définie comme telle, l'application p est un endomorphisme, idempotent (Modèle:Math), d'image Modèle:Math et de noyau Modèle:Math. Cet endomorphisme est diagonalisable.

Identification des projecteurs et des projections

On définit l'ensemble des projecteurs de E comme les endomorphismes p de E vérifiant Modèle:Math. On vient de voir que toute projection est un projecteur. Réciproquement :

Projecteur associé à un autre projecteur

La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p.

L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : Modèle:Math et Modèle:Math.

Projecteurs de même image

Deux endomorphismes p et r d'un même espace vectoriel sont des projecteurs de même image si et seulement si p ∘ r = r et r ∘ p = p.

• Si p et r sont des projecteurs de même image alors p ∘ r = r (car p vaut l'identité sur Imp, or Imp = Imr) et de même, r ∘ p = p.
• Réciproquement, si p ∘ r = r et r ∘ p = p alors p² = p ∘ (r ∘ p) = (p ∘ r) ∘ p = r ∘ p = p et imr = im(p ∘ r) ⊂ imp et de même, r² = r et imp ⊂ imr.

Projecteurs associés à une famille d'espaces supplémentaires

Un espace vectoriel Modèle:Math est somme directe de sous-espaces vectoriels <math>E_1,\cdots,E_n</math> si et seulement s'il existe une famille de projecteurs <math>p_i : E \to E_i</math> (pour <math>i \in \left \{ 1,\cdots, n \right \}</math>) vérifiant : <math>\operatorname{id}_E = p_1 + \cdots + p_n</math> et <math>p_{i}\circ p_{j} = 0</math> si Modèle:Math.

Symétries

Une symétrie vectorielle est un endomorphisme s tel que s² est l'identité (ne pas confondre avec « Endomorphisme symétrique »).

• En caractéristique différente de 2, p est un projecteur si et seulement si 2p – id est une symétrie vectorielle.

La recherche des endomorphismes tels que p² = p, ou que s² = id effectuée ici est un cas particulier simple du traitement de l'équation P(u) = 0 pour P polynôme et u endomorphisme ; voir l'article « Polynôme d'endomorphisme » pour des généralisations.

Projecteurs orthogonaux

Modèle:Article détaillé

Dans un espace quadratique, en particulier dans un espace préhilbertien, un projecteur est un endomorphisme symétrique si et seulement si <math>\ker(p) = (\operatorname{im}(p))^\perp</math>. On a alors un projecteur orthogonal, ou une projection orthogonale.

Représentation matricielle en base adaptée

Tout projecteur d'un espace de dimension finie est diagonalisable, avec comme seules valeurs propres 1 et 0 (s'il n'est ni nul, ni l'identité).

En effet, si l'on note <math>\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_n)</math> une base de Modèle:Math avec <math>e_1,\ldots,e_r</math> des vecteurs de Modèle:Math et <math>e_{r+1},\ldots,e_n</math> des vecteurs de Modèle:Math (ce qui est possible, car l'image et le noyau de Modèle:Math sont supplémentaires), alors la matrice de Modèle:Math dans cette base adaptée s'écrit :

<math>\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}} (p) = \begin{pmatrix}

\mathbf{I}_{r} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0}_{n-r}\end{pmatrix}.</math> On a donc les propriétés suivantes :

• sur la diagonale apparaissent uniquement des 1 et des 0, et le nombre de 1 est égal au rang du projecteur, ainsi qu'à sa trace ;
• les autres coefficients sont nuls.

Utilité des projecteurs

En géométrie projective

En géométrie projective, un projecteur intervient. Considérons un exemple élémentaire : Soit <math>E= \mathbb R^3 \text{ et }\mathbb RP^2 </math> l'espace projectif associé. Soit <math>a\in \mathbb RP^2</math> et <math>d=\pi(\mathcal P) </math> une droite projective ne passant pas par <math>a</math>. Soit <math>\hat{a}</math> un représentant de <math>a</math> et soit <math>p</math> la projection sur <math>\mathcal P </math> parallèlement à <math>\mathbb R\hat{a}</math>.

Ce projecteur permet de définir par passage au quotient la projection centrale <math>p_{a,d}</math>, projection de centre <math>a</math> sur la droite <math>d</math>.

<math>\begin{matrix}

E-\R\hat{a} & \displaystyle\xrightarrow{p} & E-\{0\} \\ \pi \downarrow & &\pi \downarrow \\ \R P^2 - \{a\} & \displaystyle\xrightarrow{p_{a,d}} & \R P^2 \end{matrix}</math>

Ce type de projection est un fondement important de la géométrie projective<ref>Modèle:Lien web</ref>.

En géométrie affine

Les projections affines sont associées à des projecteurs linéaires.

En théorie des séries de Fourier

Les coefficients de Fourier sont des composantes de projetés dans un espace fonctionnel adéquat<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.