Triplet pythagoricien
En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : <math>a^2+b^2=c^2</math>. Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5).
À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c.
Historique
Modèle:Section vide ou incomplète La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers Modèle:Date dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens<ref>Modèle:Lien web, revu par Christine Proust, 02/2017.</ref>,<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées<ref name="delahaye" />.
Pythagore, au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des Éléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui <math>(2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1)</math>, où <math>n</math> est un entier strictement positif<ref name="delahaye" />.
Toujours d'après Proclus, Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : <math>(n^2-1,2n,n^2+1)</math><ref name="delahaye" />.
Cas général
Les deux formules connues des Grecs montrent qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens et que tout entier <math>\geqslant3</math> fait partie d'un tel triplet (la première formule faisant intervenir <math>2n+1</math> et la deuxième <math>2n</math>).
Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.
La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité<ref>Voir par exemple Pierre Guillot, Cours de mathématiques L1, TheBookEdition, Modèle:P..</ref> : Modèle:Démonstration
Cas des triplets primitifs
Un triplet pythagoricien (a, b, c) est dit « primitif » si les trois entiers a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).
Il existe une infinité de triplets primitifs Modèle:Infra. Les 16 premiers par ordre croissant de c, avec <math>a < b</math>, sont ceux dont les trois termes sont inférieurs à 100<ref>Modèle:Lien web.</ref> : Modèle:Colonnes
Tout triplet pythagoricien (a, b, c) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (a, b, c).
Si l'on divise par c2, on obtient : Modèle:Centrer Autrement dit, les triplets pythagoriciens primitifs correspondent biunivoquement aux points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par <math>\left(\frac ac,\frac bc\right)</math>.
Théorème fondamental décrivant tous les triplets primitifs
Si (a, b, c) est un triplet pythagoricien primitif alors (b, a, c) aussi, et soit a soit b est impair, ces deux cas étant exclusifs. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets. Modèle:Énoncé
Remarques :
- La famille <math>(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)</math> était connue d'Euclide<ref name="delahaye" />.
- Pour un triplet primitif (a, b, c) avec a impair, le couple (p, q) est unique : <math>p=\sqrt{\frac{a+c}{2}},q=\sqrt{\frac{c-a}{2}}</math>.
- Le cas <math>q=1</math> et p pair implique que tout nombre multiple de 4 : <math>2p\geqslant4</math> fait partie d'au moins un triplet primitif : <math>(p^2-1,2p,p^2+1)</math> (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
- En posant <math>m=p+q</math> et <math>n=p-q</math>, une reformulation de ce théorème est :
- Le cas <math>n=1</math> implique que tout nombre impair <math>m\geqslant3</math> fait partie d'au moins un triplet primitif : <math>(m,(m^2-1)/2,(m^2+1)/2)</math> (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).
Propriétés d'un triplet pythagoricien primitif
Un triplet primitif <math>(a,b,c)</math> avec <math>a</math> impair, <math>a=p^2-q^2,b=2pq,c=p^2+q^2</math> donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :
- b est multiple de 4 (donc aucun entier de la forme Modèle:Nowrap n'appartient à un triplet pythagoricien primitif) ;
- un entier exactement parmi a et b est multiple de 3<ref name=Exo>Pour une démonstration, voir par exemple Modèle:Harvsp ou Modèle:Note autre projet</ref> ;
- un entier exactement parmi a, b et c est multiple de 5<ref name=Exo/> ;
- la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé, <math>h=ab/c</math>, n'est pas entière ;
- l'aire du triangle associé <math>S = ab/2</math> (qui est par définition un nombre congruent) n'est pas un carré<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> : c'est le théorème de Fermat sur les triangles rectangles<ref name="delahaye" /> ;
- il existe des triplets où a et c sont premiers, comme (5, 12, 13), mais on ne sait pas s'il en existe une infinité<ref>Modèle:Harvsp.</ref> (cf. la Modèle:OEIS) ;
- les facteurs premiers de c sont de la forme Modèle:Nowrap, donc c également, comme pour toute somme impaire de deux carrés premiers entre eux ;
- réciproquement tout produit de nombres premiers de la forme Modèle:Nowrap est le troisième terme d'un triplet pythagoricien primitif (cf. la Modèle:OEIS) ;
- <math>\tfrac{c-a}{2}=q^2</math> et <math>c-b=(p-q)^2</math> sont des carrés ;
- la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet (1, 8, 9) : (Modèle:Mvar)/2 et Modèle:Mvar sont des carrés alors que (1, 8, 9) n'est pas un triplet pythagoricien ;
- au plus l'un des trois nombres a, b, c est un carré<ref>Modèle:Harvsp (Exercises : 1.).</ref> ;
- les entiers a, b et c ne peuvent être simultanément des puissances n-ièmes avec <math>n\geqslant2</math> (conséquence du grand théorème de Fermat !)
- les entiers p et q s'interprètent dans le triangle associé par la formule <math>\tan \frac{B}2=\frac{q}p</math>, puisque <math>\tan B=\frac{2pq}{p^2-q^2}</math> (voir figure ci-contre) ; <math>\tan\frac{A}2=\frac{p+q}{q-p}=\frac{m}{n}</math> ;
- le rayon du cercle inscrit est l'entier <math>r=\frac{ab}{a+b+c}=q(p-q)</math> ; les rayons des trois cercles exinscrits sont les entiers <math>r_A=\frac{ab}{-a+b+c}=p(p-q)</math>, <math>r_B=\frac{ab}{a-b+c}=q(p+q)</math> et <math>r_C=\frac{ab}{a+b-c}=p(p+q)</math> ; par exemple pour le triplet (3, 4, 5), p = 2 et q = 1 ; les rayons successifs sont 1, 2, 3 et 6 ;
- le diamètre du cercle circonscrit est égal à c.
Génération algébrique et géométrique
Berggren<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} B. Berggren, « Pytagoreiska trianglar », Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi, vol. 17, 1934, Modèle:P..</ref> a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3, 4, 5) par application répétée de <math>\mathcal R_1</math>, <math>\mathcal R_2</math> et <math>\mathcal R_3</math>, avec :
selon la règle Modèle:Retrait De plus, cette décomposition est unique<ref>Modèle:Article</ref>.
Géométriquement, le produit de <math>\mathcal R_i</math> par un triplet (a, b, c) correspond à la construction <math>\Phi \circ \mathcal S_i</math> effectuée pour le point <math>\left(\frac ac,\frac bc\right)</math>, où<ref name="delahaye">Modèle:Article.</ref> :
- <math>\mathcal S_1</math> est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
- <math>\mathcal S_2</math> est la symétrie de centre O ;
- <math>\mathcal S_3</math> est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
- et Φ est l'application du cercle unité <math>\mathcal (C)</math> dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de <math>\mathcal (C)</math> avec la droite passant par M et P(1,1).
Exemples
- <math>\begin{pmatrix} 77\\36\\85 \end{pmatrix}=\mathcal R_3 \circ \mathcal R_2\begin{pmatrix}3\\4\\5 \end{pmatrix} </math>
- <math>\begin{pmatrix} 85\\132\\157 \end{pmatrix} =\mathcal R_1 \circ \mathcal R_3\circ \mathcal R_3\begin{pmatrix}3\\4\\5 \end{pmatrix}</math>
Densité
Si l'on note <math>N_c(n)</math> le nombre de triplets pythagoriciens primitifs de troisième terme inférieur à <math>n</math> et <math>N_s(n)</math> le nombre de tels triplets de somme inférieure à <math>n</math>, Derrick Norman Lehmer a montré en 1900<ref>Modèle:Article.</ref> que lorsque <math>n</math> tend vers l'infini, <math>N_c(n)\sim\frac{n}{2\pi}</math> et <math>N_s(n)\sim\frac{\log 2}{\pi^2}n</math>.
Problèmes de coloration
Modèle:Article général On peut considérer l'ensemble des entiers naturels comme un graphe dont les sommets sont les nombres et tels que les sommets reliés par une arête soient ceux qui font partie d'un même triplet.
Dès lors, on se demande s'il est possible de colorier le graphe de telle sorte que les éléments d'un même triplet ne soient pas tous de la même couleur<ref group=Note>Pour les vingt premiers entiers un exemple d'une telle coloration est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. On remarque par exemple que les triplets (3, 4, 5) et (5, 12, 13) ne sont effectivement pas monochromes. </ref>,<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
En d'autres termes on cherche à colorier le graphe de façon qu'il n'existe pas de 3-clique monochrome. Ce problème a initialement été posé par Paul Erdős et Ronald Graham<ref name="delahaye" />.
En se limitant à deux couleurs il a été montré en 2016, et vérifié en 2019 grâce à Coq, qu'il n'est possible d'aller que jusqu'aux 7824 premiers entiers<ref name="delahaye"/>,<ref>Modèle:Youtube.</ref>.
En utilisant trois couleurs différentes, il existe un coloriage admissible pour les 11066 premiers entiers mais au-delà le problème reste ouvert<ref name="delahaye"/>.
Une visualisation des triplets pythagoriciens
La fonction complexe <math>z\mapsto z^2</math> laisse stable l'anneau Z[[[:Modèle:Math]]] des entiers de Gauss. À chaque point de l'image de Z[[[:Modèle:Math]]] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet, <math>(p+q\mathrm i)^2=p^2-q^2+2pq\mathrm i</math>, et <math>(p^2-q^2)^2+ (2pq)^2=(p^2+q^2)^2</math>. Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens<ref>Modèle:Lien web.</ref> et une explication de la présence des paraboles dans le nuage de points ci-contre.
Applications
Modèle:... La corde à nœuds peut être utilisée pour construire des angles droits en délimitant un triangle dont les longueurs des côtés sont les éléments d'un triplet pythagoricien<ref group = Note>En général, on utilise 12 intervalles formant trois côtés de longueur 3, 4 et 5.</ref>.
Généralisation
Modèle:Section à sourcer En considérant la relation généralisée de Pythagore Modèle:Math, seuls les angles Modèle:Mvar entiers de 60° et 120° donnent des triplets a , b , c entiers<ref>Modèle:Lien web</ref>.
- Pour 60° et a différent de b, on obtient les triplets (3 , 8 , 7) (5 , 8 , 7) (8 , 15 , 13) ....
- Pour 120°, on obtient les triplets (3 , 5 , 7) (5 , 16 , 19) (7 , 8 , 13) ....
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
- Le dernier théorème de Fermat montre que de tels triplets n'existent pas quand l'exposant de a, b, c est un entier supérieur ou égal à 3.
- Le théorème de Niven
- Les triplets de Markov
- Les briques d'Euler
