Fonction carré
Modèle:Infobox Fonction mathématique En analyse réelle, la fonction carré<ref>Le terme carré est ici le nom de la fonction et non un adjectif qualificatif pour le nom fonction. Il ne s’accorde donc pas en genre.</ref> est la fonction qui associe à chaque nombre réel son carré, c’est-à-dire le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même.
Cette fonction puissance, qui peut s’exprimer sous la forme Modèle:Math est une fonction paire, positive et dont la courbe est une parabole d’axe vertical, de sommet à l’origine et orientée dans le sens des ordonnées positives. Comme fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle Modèle:Math, elle induit une bijection de cet intervalle dans lui-même, admettant pour réciproque la fonction racine carrée.
La fonction carré est aussi le premier exemple de fonction du second degré, et se généralise à plusieurs variables avec la notion de forme quadratique. Elle s’étend également au plan complexe comme une fonction entière avec une racine double en 0.
Propriétés
Signe
La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel Modèle:Mvar, le réel Modèle:Math est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.
Parité
La fonction est paire : Modèle:Math pour tout réel Modèle:Mvar. En effet, Modèle:Math.
Convexité
La fonction carré est strictement convexe sur <math>\Reals</math>. En effet, sa dérivée seconde est strictement positive : Modèle:Math.
Résolution d'équation de type Modèle:Math
Modèle:Voir Calculer les antécédents d'un réel Modèle:Math par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation Modèle:Math. Il y a trois cas possibles :
- Modèle:Math : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
- Modèle:Math : une solution, Modèle:Math ;
- Modèle:Math : deux solutions, Modèle:Sqrt et –Modèle:Sqrt.
Par exemple, les solutions de Modèle:Math sont Modèle:Math et Modèle:Math.
On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de Modèle:Math sont les abscisses des points d'intersection de la [[Équation de droite#Cas particuliers|droite d'équation Modèle:Math]] et du graphe de la fonction carré.
Dérivée
Modèle:Voir La dérivée de la fonction carré est <math>x\mapsto 2x</math> (c'est une fonction linéaire donc impaire)<ref>Modèle:Note autre projet</ref>. Elle est donc (strictement) négative sur <math>\R_-^*</math> et positive sur <math>\R_+^*</math>, si bien que la fonction carré est (strictement) décroissante sur Modèle:Math et croissante sur Modèle:Math. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).
Intégrale
Modèle:Article détaillé Modèle:Article connexe
Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :
- <math>\int_a^bP(x)\,\mathrm dx = \frac{b-a}6\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right]</math>
donc pour la fonction carré définie par <math>f(x)=x^2</math>, on a :
- <math>\int_a^bf(x)\,\mathrm dx = \frac{b-a}3(a^2+ab+b^2).</math>
Primitive
La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions gC définies par, pour C une constante réelle arbitraire :
- <math>g_C(x)=\frac{x^3}3+C</math>.
Représentation graphique
Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.
La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.
Extension au domaine complexe
On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant <math>f: z \rightarrow z^2</math>. Par exemple, si <math>z=2+\mathrm i</math>, <math>f(z)=3+4\mathrm i</math>. <math>f</math> peut être aussi considérée comme une fonction de <math>\R^2</math> dans <math>\R^2</math>, la fonction qui au couple <math>(x,y)</math> associe le couple <math>(x^2-y^2, 2xy)</math> puisque, en écrivant <math>z=x+\mathrm iy</math>, on a<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> <math>z^2=x^2-y^2+2\mathrm ixy</math>.
La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de Cauchy-Riemann<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Lien web, ex II.18.</ref>.
La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.
La fonction carré sert égalementModèle:Sfn à illustrer le théorème de l'application conforme.
