Forme quadratique

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L'annulation d'une forme quadratique donne le cône de lumière de la relativité restreinte, son signe fait la différence entre les événements accessibles ou inaccessibles dans l'espace-temps.

En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données respectivement par les formules suivantes (a,b,c,d,e,f désignant des coefficients) :

<math>Q(x)=ax^2</math>

<math>Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2</math>

<math>Q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz.</math>

L'archétype de forme quadratique est la forme Modèle:Math sur ℝModèle:3, qui définit la structure euclidienne et dont la racine carrée permet de calculer la norme d'un vecteur. Un autre exemple très classique est la forme Modèle:Math sur ℝ⁴, qui permet de définir l'espace de Minkowski utilisé en relativité restreinte. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges, liés notamment aux questions de signes ou plus généralement au choix du corps dans lequel varient les coefficients.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : différents résultats de classification des coniques et plus généralement des quadriques, recherche de minimum ou maximum local d'une fonction de plusieurs variables à partir d'un développement limité, introduction de la courbure des surfaces, analyse en composantes principales en statistiques. Les formes quadratiques entières interviennent en théorie des nombres et en topologie algébrique.

On trouve également des formes quadratiques dans plusieurs domaines de la physique : pour définir l'ellipsoïde d'inertie en mécanique du solide, en relativité restreinte ou générale…

Généralités

Définition courante

Les exemples les plus simples de formes quadratiques sont donnés avec un certain nombre de variables et de coefficients, en commençant par les formes quadratiques binaires. La définition générale s'écrit dans un module sur un anneau commutatif. On se limite dans un premier temps au cas d'un espace vectoriel Modèle:Mvar sur un corps commutatif Modèle:Mvar de caractéristique différente de 2 (ce qui permet la division par 2, comme pour ℝ ou ℂ). On peut alors formuler une définition dérivée de celle des formes bilinéaires : Modèle:Énoncé

La forme Modèle:Mvar est alors unique : on la retrouve par une identité de polarisation, conséquence de la bilinéarité Modèle:Centrer où <math>B(u,v)</math> est symétrique. Elle est appelée la forme bilinéaire associée à Modèle:Mvar, ou encore la forme polaire de Modèle:Mvar. Ainsi, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se déterminent mutuellement.

On peut donner des exemples simples : lorsqu'on dispose d'un produit scalaire, l'application qui à un vecteur associe le carré de sa norme est une forme quadratique. Ou encore, si Modèle:Math est une base d'un espace vectoriel de dimension n, en notant Modèle:Math les coordonnées de Modèle:Math dans cette base, les applications Modèle:Math et Modèle:Math sont des formes quadratiques. Les formes bilinéaires associées sont respectivement Modèle:Math et Modèle:Math.

Calculs algébriques

Deux vecteurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont dits orthogonaux par rapport à Modèle:Mvar si Modèle:Math, ce qui a bien un sens vu la correspondance entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

• Pour tout scalaire Modèle:Mvar et tout vecteur Modèle:Mvar, Modèle:Math.
• Deux vecteurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont orthogonaux par rapport à Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Nobr
• Plus généralement, pour tous vecteurs Modèle:Math deux à deux orthogonaux par rapport à B et pour tous scalaires Modèle:Math, <math>Q\left(\sum_{i=1}^na_ie_i\right)=\sum_{i=1}^na_i^2Q(e_i)</math>.
• Modèle:Mvar obéit à la règle du parallélogramme : Modèle:Nobr
• La somme de deux formes quadratiques, et plus généralement les combinaisons linéaires de formes quadratiques sont des formes quadratiques.

L'expression "quadratique" provient de "carré" et témoigne de l'apparition de coefficients au carré dans ces formules. Cela ne veut pas dire pour autant que Q(x) est un réel positif, ce n'est pas toujours le cas.

Expression matricielle

Si Modèle:Mvar est de dimension n, et si <math>e=(e_i)_{1\le i\le n}</math> est une base de Modèle:Mvar, on associe à Modèle:Mvar la matrice symétrique Modèle:Math définie par Modèle:Retrait La valeur de la forme quadratique Modèle:Mvar est alors donnée par Modèle:Retrait où les Modèle:Mvar sont les coordonnées de Modèle:Mvar dans cette base, et Modèle:Math la matrice colonne formée par ces coordonnées. On dit que Modèle:Math est la matrice de Modèle:Mvar dans la base Modèle:Mvar.

L'expression de Modèle:Math est un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de Modèle:Mvar, comme indiqué en introduction. Cependant les coefficients du polynôme dépendent du choix de base, alors que la définition formelle a l'avantage d'être totalement dégagée d'un tel choix. Précisément, si Modèle:Mvar'=Modèle:Math est une autre base de Modèle:Mvar, et soit Modèle:Mvar la matrice de passage de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar'. De la relation Modèle:Math on tire Modèle:Math pour la matrice de Modèle:Mvar dans la nouvelle base. On dit que Modèle:Math et Modèle:Math sont congruentes.

Inversement, le polynôme Q étant donné, le développement de Taylor en 0 de Modèle:Mvar montre que

<math>B_{i,j} = {1\over 2}{\partial^2 Q\over \partial x_i\partial x_j}.</math>

Orthogonalité, isotropie, dégénérescence

Orthogonalité des espaces

Plus généralement, si Modèle:Mvar est un sous-espace vectoriel de Modèle:Mvar, l'orthogonal de Modèle:Mvar est le sous-espace Modèle:Centrer

Ces notions généralisent l'orthogonalité dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur Modèle:Math, pour la forme quadratique Modèle:Math, chacun des sous-espaces Modèle:Math et Modèle:Math est son propre orthogonal.

Il existe deux démonstrations classiques de ce résultat. La première consiste en une preuve par récurrence<ref>C'est par exemple la preuve proposée dans Modèle:Harvsp</ref> sur la dimension de l'espace. Pour établir l'hérédité on considère un vecteur Modèle:Mvar tel que Modèle:Math (s'il en existe, sinon la forme quadratique est nulle et la preuve est achevée) et on applique l'hypothèse de récurrence dans l'hyperplan noyau de la forme linéaire non nulle Modèle:Math. La deuxième méthode est un algorithme explicite en composantes, la réduction de Gauss, qui fait apparaître Modèle:Mvar comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires. Il suffit alors d'introduire une base duale.

Radical, dégénérescence et rang

Le noyau d'une forme quadratique Modèle:Mvar (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace Modèle:Mvar tout entier. Cet espace est le noyau de l'application linéaire de Modèle:Mvar dans l'espace dual Modèle:Math qui associe à Modèle:Mvar la forme linéaire Modèle:Math. Si Modèle:Math est une base orthogonale de Modèle:Mvar, Modèle:Math est le sous-espace vectoriel engendré par les Modèle:Mvar tels que Modèle:Math.

Une forme quadratique est dite non dégénérée si Modèle:Math, autrement dit si l'application linéaire ci-dessus est injective.

Si Modèle:Mvar est un sous-espace supplémentaire de Modèle:Math, la restriction de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar est non dégénérée, et Modèle:Mvar donne par passage au quotient une forme quadratique non dégénérée sur l'espace quotient V/rad(Q).

Si Modèle:Mvar est non dégénérée, Modèle:Math, mais Modèle:Mvar n'est pas toujours la somme directe de Modèle:Mvar et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire.

Le rang de Modèle:Mvar est par définition le rang de l'application de Modèle:Mvar dans Modèle:Math définie ci-dessus. D'après le théorème du rang, on a donc : Modèle:Math. Si Modèle:Mvar est de dimension finie, Modèle:Math est aussi le rang de la matrice de Modèle:Mvar dans n'importe quelle base.

Isotropie

Un vecteur Modèle:Mvar non nul est dit isotrope si Modèle:Math.

Un sous-espace vectoriel Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est dit totalement isotrope si la restriction de Modèle:Mvar à Modèle:Mvar est la forme nulle.

Exemple. Sur K²ⁿ, soit Modèle:Mvar la forme quadratique donnée par Modèle:Centrer Le sous-espace <math>\{v\in V\mid v_i=0\ \mathrm{si}\ 1\le i\le n\}</math> est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension<ref> R. Goblot, Algèbre linéaire, Masson, Paris 1995, ch. 10, par. 4.</ref>. Cette dimension s'appelle l'indice d'isotropie.

Exemples. Il est nul pour le carré de la norme euclidienne, et vaut n dans l'exemple précédent, ainsi que pour la forme quadratique sur ℂ²ⁿ donnée par Modèle:Centrer Plus généralement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est égal à Modèle:Math (partie entière).

Discriminant

Soit Modèle:Mvar une forme quadratique et Modèle:Math sa matrice dans une base de Modèle:Mvar.

Si l'on effectue un changement de base de matrice Modèle:Mvar (cf. § « Expression matricielle » ci-dessus), la matrice de Modèle:Mvar dans la nouvelle base sera Modèle:Math.

D'après les propriétés élémentaires des déterminants, Modèle:Retrait Si Modèle:Mvar est non dégénérée, l'image du déterminant dans le groupe quotient Modèle:Math ne dépend pas de la base ; c'est cet élément que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique.

Si Modèle:Mvar est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.

Exemples

• Corps quadratiquement clos

Si Modèle:Mvar est quadratiquement clos (en particulier s'il est algébriquement clos, comme le corps des complexes), le quotient K*/(K*)² est le groupe trivial et le discriminant est sans intérêt.

• Corps des réels

Le quotient ℝ*/(ℝ*)² s'identifie à {± 1}, vu comme sous-groupe multiplicatif de ℝ*. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique Modèle:Math sur ℝ², supposée non dégénérée, est donnée par le signe de Modèle:Math. S'il est positif, la forme est définie positive ou définie négative ; s'il est négatif, la réduction de Gauss sera de la forme Modèle:Math. On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation du second degré.

• Corps finis

Si Modèle:Mvar est un corps fini de caractéristique différente de 2, le groupe Modèle:Math est cyclique d'ordre pair et Modèle:Math est encore d'ordre 2.

• Corps des rationnels

La décomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que ℚ*/(ℚ*)² est infini.

Classification des formes quadratiques

On dira que deux formes quadratiques Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont équivalentes (certains auteurs disent isométriques) s'il existe une application linéaire inversible Modèle:Mvar telle que <math>\,Q^\prime=Q\circ\phi</math>. Cela revient à dire que l'expression de Modèle:Mvar dans une base Modèle:Math est identique (en tant que polynôme par rapport aux coordonnées) à celle de Modèle:Mvar dans la base Modèle:Math. Cela équivaut aussi à dire que leurs matrices dans une même base sont congruentes.

Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel Modèle:Mvar, c'est :

• déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une relation d'équivalence) ;
• ou, ce qui revient au même, déterminer les orbites de l'ensemble des formes quadratiques sous l'action du groupe linéaire Modèle:Math donnée par

(ce sont deux façons d'exprimer la même chose).

Sur Modèle:Mvar (où Modèle:Mvar est un corps de caractéristique différente de 2) :

• deux formes équivalentes ont même rang et même discriminant (et même indice d'isotropie) ;
• toute forme quadratique de rang r est équivalente à <math>\sum_{i=1}^rc_iv_i^2</math> pour certaines constantes non nulles Modèle:Mvar Modèle:Supra.

On en déduit les résultats suivants :

• si Modèle:Mvar (de caractéristique différente de 2) est quadratiquement clos, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang ;
• si Modèle:Math, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même signature (loi d'inertie de Sylvester) ;
• si Modèle:Mvar (de caractéristique différente de 2) est un corps fini, toute forme quadratique non dégénérée sur Modèle:Mvar de discriminant Modèle:Math est équivalente à Modèle:Math (par récurrence, il suffit de le démontrer pour n = 2, ce qui revient à trouver, pour tous scalaires non nuls Modèle:Math, un vecteur Modèle:Math de K² tel que Modèle:Math ; il en existe, d'après le principe des tiroirs). Sachant que Modèle:Math a deux éléments, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur Modèle:Mvar ;
• si Modèle:Math, dès la dimension 1, il existe une infinité de formes quadratiques deux à deux non équivalentes.

Géométrie des formes quadratiques

Forme quadratique duale d'une forme quadratique de rang maximum

Si Modèle:Mvar est de rang maximum sur l'espace vectoriel Modèle:Mvar, la forme bilinéaire associée Modèle:Mvar définit un isomorphisme entre Modèle:Mvar et son dual Modèle:Math : à Modèle:Math on associe la forme linéaire Modèle:Math définie par Modèle:Centrer On définit alors une forme quadratique Modèle:Math sur Modèle:Math en posant Modèle:Centrer Si Modèle:Mvar est la matrice de Modèle:Mvar dans une base de Modèle:Mvar, la matrice de Modèle:Math dans la base duale de Modèle:Math est Modèle:Math.

Application aux quadriques Si l'on considère Modèle:Math comme l'équation d'une quadrique projective de l'espace projectif Modèle:Math, la forme Modèle:Math donne l'équation tangentielle de la quadrique considérée.

Cas d'un anneau quelconque

La théorie des formes quadratiques sur un anneau quelconque est légèrement différente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Modèle:Math pour une forme bilinéaire symétrique Modèle:Mvar. En outre, en caractéristique 2, même lorsque Modèle:Mvar existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternées sont aussi symétriques en caractéristique 2, on peut ajouter toute forme alternée à Modèle:Mvar et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique sur un anneau commutatif Modèle:Mvar quelconque est la suivante<ref>Modèle:Harvsp</ref><ref>Modèle:Lien web.</ref>.

Une forme quadratique sur un R-module Modèle:Mvar est une application Modèle:Math telle que :

• Modèle:Math pour tout scalaire Modèle:Mvar et tout vecteur Modèle:Mvar ;
• Modèle:Math est une forme bilinéaire sur Modèle:Mvar.

Formes quadratiques entières

Les formes quadratiques entières (c'est-à-dire à coefficients entiers) les plus étudiées ont d'abord été les formes quadratiques binaires, classifiées par Lagrange puis Gauss, pour la résolution d'équations diophantiennes comme le théorème des deux carrés de Fermat.

Les formes entières jouent aussi un rôle primordial en théorie de l'intersection.

Formes quadratiques réelles

Les formes quadratiques réelles (pour lesquelles <math>K = \mathbb{R}</math>) sont les plus utilisées en physique et possèdent des propriétés supplémentaires permettant notamment de plus facilement les classer. On suppose dans la suite de cette partie que <math>V</math> est un espace vectoriel réel de dimension <math>n</math>.

Signature d'une métrique, forme quadratique, matrice

La signature d'une forme quadratique réelle <math>Q</math> sur <math>V</math> est la signature de la forme bilinéaire symétrique <math>B</math> associée à <math>Q</math>, ou encore la signature de la matrice symétrique réelle Modèle:Math associée à <math>B</math>. On peut la définir de deux façons, soit avec la notion de dimension maximale des sous-espaces négatifs et positifs (comme ici), soit de manière équivalente avec les valeurs propres :

Définition. La signature de Modèle:Math est le couple <math>(v,p)</math>, où <math>v</math> (respectivement <math>p</math>) est le nombre de valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) strictement positives (respectivement négatives) de Modèle:Math.

Autrement dit, pour une famille <math>\{\lambda_k\}_{1 \leq k \leq n}</math> de valeurs propres de Modèle:Math, <math>v</math> est le cardinal de <math>\{k \in \{1, 2, ..., n\} \, \, | \, \, \lambda_k > 0\}</math>, et <math>p</math> le cardinal de <math>\{k \in \{1, 2, ..., n\} \, \, | \, \, \lambda_k < 0\}</math>.

Cette définition est clairement invariante par changement de base de Modèle:Math et la loi d'inertie de Sylvester et le théorème spectral donnent l'équivalence avec l'autre définition. On peut noter que le rang de Modèle:Math est alors égal à <math>v + p</math>. La signature de <math>Q</math> est bien définie car elle est indépendante du choix de la base utilisée pour obtenir la matrice Modèle:Math associée à <math>B</math> (et donc à <math>Q</math>) selon cette même loi d'inertie de Sylvester.

On trouve plusieurs versions différentes de l'écriture de cette signature dans la littérature scientifique. On peut par exemple souvent voir apparaitre le choix de noter la multiplicité <math>n_0</math> de <math>0</math> ce qui donne le triplet <math>(v, p, n_0)</math>, mais c'est en principe inutile car on sait déjà avec le théorème du rang que <math>n_0 = n - (v + p)</math>. On trouve aussi la notation avec un nombre <math>v</math> de <math>+</math> et un nombre <math>p</math> de <math>-</math> utilisée par les physiciens, qui précisent également en général l'orientation de l'écoulement du temps (qui peut être inversé à condition de rester consistant avec ce choix de convention).

Exemples.

• La matrice identité <math>I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> et plus généralement toute matrice définie positive a pour signature <math>(n, 0)</math>.
• Soit <math>P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> . <math>P</math> est semi-définie positive si et seulement si sa signature est <math>(r, 0)</math> où <math>r \in \mathbb{N}</math>. Dans ce cas, <math>r</math> est le rang de <math>P</math>.
• Les matrices <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> et leurs opposées (<math>-A</math> pour une matrice <math>A</math>) ont toutes pour signature <math>(1, 1)</math> (ce sont des cas particuliers de symétries vectorielles).
• La matrice de Minkowski <math>\hat{g} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> utilisée en physique relativiste pour représenter le tenseur métrique associé à l'espace de Minkowski a pour signature <math>(3, 1)</math>, notée <math>(3, 1, 0)^-</math> ou <math>(- + + +)</math> par les physiciens. Mais on peut également représenter (en changeant la convention) l'espace de Minkowski à l'aide de <math>- \hat{g}</math>, ce qui donne la signature "miroir" <math>(1, 3, 0)^+</math> ou <math>(+ - - -)</math>. Ce changement de convention n'a d'intérêt qu'en physique car c'est toujours le même espace qui est représenté. Cependant, cela permet de mettre en lumière les évènements qui ont lieu en même temps ("space-like" en anglais) avec <math>\hat{g}</math> ou qui ont la même localisation ("time-like" en anglais) avec <math>- \hat{g}</math>. Et avec <math>- \hat{g}</math>, on mesure directement le temps propre (cf. métrique de Minkowski).

Le lien entre une métrique pseudo-riemannienne et la matrice représentant le tenseur métrique associé fait qu'on appelle parfois signature de la métrique considérée la signature de la matrice associée à cette même métrique. Par exemple, la signature de la métrique de Minkowski est <math>(1, 3)</math> ou <math>(3, 1)</math>.

Calcul pratique de la signature

Pour calculer la signature, plusieurs algorithmes existent :

• La réduction de Gauss donne directement la diagonalisation de la forme quadratique dans une base orthonormale.
• La diagonalisation directe en passant par le polynôme caractéristique ou avec des outils numériques de calcul scientifique qui seront peut-être un peu plus rapides car certains exploitent la symétrie. Le problème des outils numériques est qu'en pratique, il est très difficile de certifier la nullité d'une valeur propre à cause de la sensibilité machine (on peut avoir <math>10^{-15}</math> à la place de <math>0</math> par exemple), ou même le signe des valeurs propres qui ont une valeur absolue non nulle mais très petite par rapport au rayon spectral (typiquement <math>0 < \lambda_i < 10^{-15} \rho(\bf{B})</math>).
• L'étude du polynôme caractéristique en soi peut aussi s'avérer fructueuse dans certains cas, notamment en utilisant des astuces comme la règle de signes de Descartes.
• Le critère de Sylvester donne "rapidement" la définie positivité d'une matrice symétrique et donc si elle est définie positive, la signature est évidente (voir supra).

Applications

Si Modèle:Math est une fonction de classe C², la partie d'ordre 2 de son développement de Taylor, disons en 0, définit une forme quadratique dont la représentation matricielle est, à un facteur 1/2 près, la matrice hessienne de Modèle:Mvar en 0. Si 0 est un point critique, cette forme, dans le cas où elle est non dégénérée, permet de décider si on a affaire à un point de maximum local, à un point de minimum local ou à un point selle.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Berger2
• Modèle:Serre1, chap. IV
• Modèle:Ouvrage