Espace dual
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel Modèle:Mvar est l'espace des formes linéaires sur Modèle:Mvar.
La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.
Le dual topologique est une variante très souvent considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.
Définitions
Soient Modèle:Math un corps commutatif et Modèle:Mvar un K-espace vectoriel.
On appelle forme linéaire sur Modèle:Mvar toute application linéaire de Modèle:Mvar vers Modèle:Mvar, c'est-à-dire toute application Modèle:Math telle que
- <math>\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in K,\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).</math>
L'ensemble Modèle:Math des formes linéaires sur Modèle:Mvar est un K-espace vectoriel<ref>N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, paragraphe 7, section 5, p. 102-106.</ref>, appelé l'espace dual de Modèle:Mvar et noté E*.
Le crochet de dualité (aussi appelé appariement dual canonique) est la forme bilinéaire non dégénérée
- <math>\langle~,\rangle : E^*\times E\to K,\quad(\phi,x)\mapsto\langle\phi,x\rangle:=\phi(x).
</math>
Un plongement d'un espace vectoriel dans un autre est une application linéaire injective.
Exemple : cas d'un espace préhilbertien
Modèle:Voir Si l'espace vectoriel Modèle:Mvar est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire (∙|∙), cette donnée supplémentaire permet de définir un plongement naturel de E dans Modèle:Math : l'application Modèle:Mvar qui à chaque vecteur Modèle:Mvar de Modèle:Mvar associe la forme linéaire Modèle:Math, Modèle:Math. Ainsi, Modèle:Mvar est isomorphe au sous-espace Modèle:Math de Modèle:Math.
Bases
Cas général
Soit Modèle:Math une base (éventuellement infinie) de Modèle:Mvar. Alors, la famille de formes linéaires Modèle:Math définie par :
ou encore
est une famille libre de Modèle:Math, donc l'unique application linéaire de Modèle:Mvar dans Modèle:Math qui envoie (pour tout Modèle:Math) Modèle:Math sur Modèle:Math est un plongement.
Il n'est pas canonique, car il dépend du choix d'une base.
Par ailleurs, quand la dimension de Modèle:Mvar est infinie, elle est strictement inférieure à celle de Modèle:Math (d'après le théorème d'Erdős-Kaplansky), c'est-à-dire qu'aucune application linéaire de Modèle:Mvar dans Modèle:Math n'est surjective.
Dimension finie
Si l'espace Modèle:Mvar est de dimension finie n alors, au contraire, le plongement du paragraphe précédent devient un isomorphisme de E dans E*.
Par exemple, les polynômes de Lagrange Modèle:Math associés à n + 1 scalaires distincts Modèle:Math forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base duale est formée des n + 1 fonctions d'évaluation : Modèle:Math
Annulateur
- Si Modèle:Mvar est une partie de Modèle:Mvar, on définit l'annulateur A° de A dans E* comme le sous-espace des formes qui s'annulent sur A (donc aussi sur le sous-espace Vect(A) engendré par A) :
Modèle:Retrait A° est naturellement isomorphe au dual de l'espace vectoriel quotient Modèle:Math.
- Si B est une partie de E*, on définit l'annulateur °B de B dans Modèle:Mvar comme le sous-espace des vecteurs annulés par B :
Modèle:Retrait Autrement dit : °B est l'intersection des noyaux des éléments de B.
Avec les notations ci-dessus, °(A°) est égal à Vect(A), tandis (°B)° contient Vect(B) ; il lui est égal dès que B est finie.
Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application φ définie dans le paragraphe « Exemple : cas d'un espace préhilbertien » ci-dessus est un isomorphisme de Modèle:Mvar sur E*. Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire ; pour cette raison, l’annulateur de A est parfois appelé orthogonal de A.
Représentation des sous-espaces
Une application importante de l'étude de l'espace dual est la représentation d'un sous-espace vectoriel comme intersection d'hyperplans.
Soient Modèle:Mvar un espace vectoriel et F un sous-espace. Pour toute base B de l'espace F° des formes s'annulant sur F, le sous-espace F = °(F°) = °(Vect(B)) = °B est l'intersection des noyaux des éléments de B, c'est-à-dire que pour tout vecteur x de Modèle:Mvar, Modèle:Retrait F est de codimension finie q si et seulement si B contient exactement q formes Modèle:Math, et l'on peut alors représenter F par q équations linéaires indépendantes : Modèle:Retrait
Réciproquement, soit B un ensemble fini de formes linéaires indépendantes. Alors, en notant F = °B l'intersection de leurs noyaux, B est une base de (°B)° = F°.
Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droites ou de plans par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de deux plans indépendants est une droite.
Nota Bene : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.
Transposition
Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux espaces vectoriels sur Modèle:Mvar et Modèle:Math une application linéaire, l'application transposée de Modèle:Mvar, notée tu, est l'application de F* dans E* donnée par
\forall \eta\in F^\ast,\forall x\in E, \langle {}^tu(\eta),x\rangle = \langle \eta,u(x)\rangle.
</math>L'application tu est linéaire pour tout u, et l'application u ↦ tu est linéaire.
Si Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont trois espaces vectoriels, on a
\forall u\in L(E,F),\forall v\in L(F,G), {}^t(v\circ u)= {}^tu\circ {}^tv.
</math>Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.
Exemple élémentaire
Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, alors Modèle:Math et on retrouve la transposition des matrices.
Bidual
On définit une application linéaire Modèle:Mvar de Modèle:Mvar dans Modèle:Math par la formule
\forall\phi\in E^\ast,\ \langle i(x),\phi\rangle = \langle\phi, x \rangle.
</math>Autrement dit, Modèle:Math est la forme linéaire sur Modèle:Math qui à toute forme linéaire Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar associe Modèle:Math.
Contrairement aux [[#Cas général|plongements de Modèle:Mvar dans Modèle:Math]], l'application Modèle:Mvar est naturelle, car elle dépend de la seule donnée de Modèle:Mvar.
Elle est par ailleurs injective, c'est-à-dire que pour tout vecteur non nul Modèle:Math de Modèle:Mvar il existe une forme linéaire Modèle:Mvar telle que <math>\langle\phi, x\rangle\not=0</math> (car Modèle:Mvar se complète en une base Modèle:Math, et ⟨ei*, ei⟩ = 1).
Si Modèle:Mvar est de dimension finie, Modèle:Mvar est donc un isomorphisme (tandis que si Modèle:Mvar est de dimension infinie, il n'existe aucune surjection linéaire de Modèle:Mvar dans Modèle:Math).
Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).
Cas d'un corps de base non commutatif
Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif Modèle:Math est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.
Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite et vice-versa.
Soient en effet Modèle:Mvar un espace vectoriel à gauche sur Modèle:Mvar, Modèle:Math et Modèle:Math. On définit Modèle:Math par la formule
C'est bien une application linéaire car, pour tout vecteur Modèle:Mvar dans Modèle:Mvar et tous scalaires Modèle:Math et Modèle:Math dans Modèle:Mvar, on a
(u\cdot\lambda)(\mu x)=u(\mu x)\lambda= (\mu u(x))\lambda=\mu \left(u(x)\lambda\right) =\mu\left( (u\cdot\lambda) (x)\right).
</math>Ce qui précède est encore valide si l'on remplace « corps » par « anneau » et « espace vectoriel » par « module ».
Il faut remarquer au passage que si Modèle:Mvar est un corps non commutatif et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des Modèle:Mvar-espaces vectoriels de dimension au moins 2, Modèle:Math n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien. De même, si Modèle:Mvar est un anneau non commutatif et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des Modèle:Mvar-modules non isomorphes à Modèle:Mvar, Modèle:Math est seulement muni d'une structure de groupe abélien.
