Matrice transposée
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En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice <math>A \in\mathrm M_{m,n}(K)</math> est la matrice <math>A^\mathsf{T}\in\mathrm M_{n,m}(K)</math>, également notée Modèle:Nobr <math>^{\operatorname t}\!A</math> ou <math>A'</math><ref>La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation <math>A^\mathsf{T}</math>.</ref>, obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de <math>A</math>.
Plus précisément, si on note <math>a_{i,j}</math> pour <math>(i,j) \in \{1, \ldots,m \} \times \{ 1, \ldots,n\}</math> et <math>b_{i,j}</math> pour <math>(i,j) \in \{1, \ldots,n \} \times \{ 1, \ldots,m\}</math> les coefficients respectivement de <math>A</math> et de <math>A^\mathsf{T}</math> alors pour tout <math>(i,j) \in \{1, \ldots,n \} \times \{ 1, \ldots,m\}</math> on a <math>b_{i,j} = a_{j,i}</math>.
Par exemple, si
- <math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}</math>
alors
- <math>A^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}</math>.
Propriétés
On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note <math>A</math> et <math>B</math> deux matrices quelconques de <math>\mathrm M_{m,n}(K)</math> et <math>\alpha \in K </math> un scalaire.
- L'application « transposition » est linéaire :
- <math>(A + B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T} + B^\mathsf{T}, \qquad (\alpha A)^\mathsf{T} = \alpha A^\mathsf{T}</math>.
- La transposée de <math>A^\mathsf{T}</math> est <math>A</math>. Par conséquent, l'application « transposition » <math>^\mathsf{T}:\mathrm M_{m,n}(K)\to\mathrm M_{n,m}(K)</math> est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de <math>\mathrm M_n(K)</math> ; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
- La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
- <math>(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}\, A^\mathsf{T}</math>.
- En particulier, l'application « transposition » est donc un antiautomorphisme de l'algèbre <math>\mathrm M_n(K)</math>.
- Si une matrice carrée <math>A</math> est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de <math>A</math> est égale à l'inverse de sa transposée :
- <math>\left(A^{-1}\right)^\mathsf{T} = \left(A^\mathsf{T}\right)^{-1}</math>.
- Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
- Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables<ref>Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC</ref>. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que <math>SJS^{-1}=J^\mathsf{T}</math>, où J est un bloc de Jordan et S une Modèle:Lien.
Interprétation : dualité
Espaces euclidiens
Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire Modèle:Math par rapport à deux bases orthonormales B et B', alors sa transposée AT est la matrice, dans les bases B' et B, de son opérateur adjoint Modèle:Math, caractérisé par
- <math>\forall x\in E,\ \forall y\in E',\quad \langle x,f^*(y)\rangle_E=\langle f(x),y\rangle_{E\,'}.</math>
Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée AT est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).
Hypergraphes
Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.
Cas d'un anneau de scalaires non commutatif
Si <math>K</math> est un anneau non commutatif, on considère la transposée <math>A^\mathsf{T}</math> d'une matrice <math>A</math> de <math>\mathrm M_{m,n}(K)</math> plutôt comme un élément de <math>\mathrm M_{n,m}(K^{op})</math>, où <math>K^{op}</math> est l'anneau opposé de <math>K</math>, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,
- <math>(AB)^\mathsf{T} = B^\mathsf{T}\cdot A^\mathsf{T}</math>.
Modèle:Boîte déroulante/début Vérifions qu'on peut identifier l'anneau <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'anneau <math>K</math>, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'ensemble <math>K</math>, les matrices <math>A, B \in\mathrm M_{1,1}(K)</math> s'identifient à leurs éléments respectifs <math>a,b \in K</math>. L'application <math>a \mapsto A</math> de <math>K</math> dans <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math> avec l'anneau <math>K</math> ; en particulier, <math>AB</math> s'identifie à <math>ab</math>. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées <math>A^\mathsf{T}, B^\mathsf{T} \in\mathrm M_{1,1}(K)</math> à <math>a,b \in K</math> respectivement, on a dans <math>\mathrm M_{1,1}(K)</math>, d'après ce qui précède, <math>(AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}\cdot A^\mathsf{T}=B\cdot A</math> où <math>B\cdot A</math> est le produit de <math>a</math> et <math>b</math> dans <math>K^{op}</math>, à savoir <math>b\cdot a=ab</math>. Par conséquent, <math>(AB)^\mathsf{T}=ab</math>, donc <math>(AB)^\mathsf{T}</math> s'identifie à <math>ab</math>, ce qui exprime la compatibilité attendue.Modèle:Boîte déroulante/fin
Notes et références
<references/>
