Quadrique
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En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface satisfaisant une équation cartésienne polynomiale de degré 2 à trois variables<ref>Modèle:Chapitre.</ref> (notées généralement Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar) de la forme
- <math>Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+Gx+Hy+Iz+J=0</math>.
Ces surfaces sont classifiées par une équation réduite dans un repère orthonormé adapté en géométrie euclidienne, et en neuf classes non dégénérées à transformation linéaire près en géométrie affine. On peut également les étudier dans le cadre de la géométrie projective, qui simplifie et unifie complètement les résultats.
Leurs sections planes sont des coniques.
La définition se généralise en dimension supérieure avec la notion de quadrique affine, une hypersurface, caractérisée comme lieu d'annulation d'un polynôme de degré 2, voire sur un autre corps de coefficients que celui des réels.
Classification
Présentation des principales quadriques
Les quadriques non dégénérées<ref>Ni vides, ni réduites à un point, une droite, un plan ou l'union de deux plans.</ref> sont décrites ci-dessous à partir de leurs équations réduites dans un repère orthonormé convenable.
| L'ellipsoïde | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Ellipsoid.jpg |
| L'hyperboloïde à une nappe (H1) | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}-1 = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Hyperboloid 1.jpg |
| L'hyperboloïde à deux nappes (H2) | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} +1 = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Hyperboloid 2.jpg |
| Le paraboloïde elliptique (PE) | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =z \,</math> , | Fichier:Quadric Elliptic Paraboloid.jpg |
| Le paraboloïde hyperbolique (PH) | <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z \,</math> , | Fichier:Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg |
| Le cône à base elliptique | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Cone.jpg |
| Le cylindre elliptique | <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}-1 = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Elliptic Cylinder.jpg |
| Le cylindre hyperbolique | <math>\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2}-1 = 0 \,</math> , | Fichier:Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg |
| Le cylindre parabolique | <math>\displaystyle{x^2 = 2 p y}</math> . | Fichier:Quadric Parabolic Cylinder.jpg |
Classification générale
L'équation de la surface peut s'écrire :
- <math> Q(x,y,z)+Gx+Hy+Iz+J=0~</math>
où Q désigne la forme quadratique
- <math>Q(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy~</math>
de matrice :
- <math>M_Q=\begin{pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{pmatrix}</math>
dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque cette matrice est symétrique réelle.
La signature de la forme quadratique est le couple (p,q) où p est le nombre de valeurs propres strictement positives de Q et q le nombre de valeurs propres strictement négatives. Le rang de Q est alors p+q. Par définition d'une quadrique, le rang de Q ne peut être nul. Le fait que la signature d'une forme quadratique ne dépende pas du choix de la base choisie est démontré par la loi d'inertie de Sylvester.
Lorsque le rang est égal à 3, la quadrique admet un centre de symétrie.
| Rang | Signature | Quadrique non dégénérée | Quadrique dégénérée |
| 3 | (3,0) ou (0,3) | ellipsoïde | <math> \varnothing </math> ou point |
| (2,1) ou (1,2) | hyperboloïde à 1 ou 2 nappes ou cône | ||
| 2 | (2,0) ou (0,2) | paraboloïde elliptique ou cylindre elliptique | <math> \varnothing </math> ou droite |
| (1,1) | paraboloïde hyperbolique ou cylindre hyperbolique | réunion de deux plans | |
| 1 | (1,0) ou (0,1) | cylindre parabolique | <math> \varnothing </math> ou plan ou réunion de deux plans |
Classification en géométrie affine
Modèle:Section vide ou incomplète
Classification en géométrie projective
Quadrique en dimension quelconque
Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont <math>\{x_1, x_2, \dots, x_D\}</math>, la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :
- <math>\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0</math>
pour un choix spécifique de Q, P et R.
L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :
- <math>\sum_{i=1}^D \pm {x_i^2 \over a_i^2} =1</math>
où au moins un des « ± » est un signe « + ».
Un ellipsoïde en dimension quelconque (appelé hyperellipsoïde si <math>D>3</math>) est une quadrique ne comportant que des signes « + » dans l'équation ci-dessus.
Applications
En modélisation d'image
Pour une surface d'équation <math>z=f(x,y)~</math>, la formule de Taylor-Young fournit une approximation locale de la surface par la quadrique d'équation:
p (x-a)
+ q (y-b)
+ \frac{1}{2} [r (x-a)^2 + 2 s (x-a)(y-b) + t (y-b)^2 ]</math>avec les notations dites de Monge <math>p= \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) , q= \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) , r= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b), t= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b), s= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b). </math>
Cette approximation locale est exploitée en modélisation d'images<ref>Sylvie Philipp, Modélisation structurale de la texture. Extraction du grain primaire et de sa règle de placement dans Douzième colloque Gretsi, Juan-les-Pins, 1988, Lire en ligne, Modèle:P..</ref>, où elle fournit des résultats intéressants<ref>Alaa Mustafa, Contribution à l'étude des courbures discrètes et de leurs applications, 2008 [Thèse].</ref>.
