Tenseur métrique

En géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée <math>G</math>, pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g.

Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

Définition

Le tenseur métrique d'un espace vectoriel <math>E</math> de dimension finie n est un tenseur covariant de rang 2 (c'est-à-dire une forme bilinéaire) défini sur <math>E</math> :

<math>

\begin{align} g \, : \, &E\times E &\to &\,\,\, \R \\

   &(\mathbf{u},\mathbf{v}) &\mapsto &\,\,\, g(\mathbf{u},\mathbf{v})

\end{align} </math>

<math>g</math> est :

• symétrique : <math>\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in E\times E \quad g(\mathbf{v},\mathbf{u}) = g(\mathbf{u},\mathbf{v})</math> ;
• non dégénérée : <math>\forall\mathbf{u}\in E,\forall \mathbf{v} \in E, g(\mathbf{u},\mathbf{v})=0 \Rightarrow \mathbf{u}=0\;\mathrm{ou}\; \mathbf{v}=0</math> ;
• positive : <math>\forall \mathbf{u} \in E \quad g(\mathbf{u},\mathbf{u}) \geqslant 0 </math> (à l'exception des pseudo-métriques, voir ci-dessous). E, muni de ce tenseur, est alors un espace euclidien.

Plus généralement, le tenseur métrique<ref>En toute rigueur, sur une variété différentielle, on devrait parler de champ de tenseur métrique, mais, par abus de langage, on parle souvent de tenseur métrique ou tout simplement de métrique.</ref> d'une variété différentielle est la donnée, en chaque point de la variété, d'un tenseur métrique sur l'espace tangent à la variété en ce point. L'attribution d'un tenseur métrique à cette variété fait de celle-ci une variété riemannienne (ou une variété pseudo-riemannienne dans le cas d'une pseudo-métrique).

On note le produit scalaire de deux vecteurs <math>u^i\mathbf{e}_i</math> et <math>v^j\mathbf{e}_j</math>, où i = 1, ..., n, de la manière suivante :

<math> g( \mathbf{u}, \mathbf{v}) = g(u^i \mathbf{e}_i, v^j \mathbf{e}_j) = u^i v^j g(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) = u^i v^j g_{ij}.</math>

La notation <math>g_{ij}</math> est conventionnellement utilisée pour les composantes du tenseur métrique. En Relativité Restreinte, puis Générale, le tenseur métrique est noté, par convention g_μν où µ et ν sont éléments de l'ensemble {0,1,2,3}

Dans l'espace dual de <math>E</math>, la métrique conjuguée à celle de <math>E</math>, notée <math>g^{ij}</math> et appelée métrique duale ou métrique inverse (la matrice représentant ses composantes étant l'inverse de celle représentant les composantes de la métrique de <math>E</math> ), est un tenseur contravariant. Il respecte l'identité <math>g^{\mu \nu} \, g_{\nu \rho} \,=\, \delta^{\mu}_{\rho}\,</math>, qui permet de transformer des composantes contravariantes en composantes covariantes et vice versa.

Pseudo-métrique

Lorsque <math>g(x,x)</math> n'est pas toujours positif, on peut parler de pseudo-métrique (c'est par exemple le cas de la métrique lorentzienne (encore appelée métrique de Minkowski) de l'espace de Minkowski). Dans ce cadre<ref>Modèle:Pdf Cours de relativité générale, Modèle:P., Bernard LINET, Laboratoire de Mathématiques et Physique théorique, Université François Rabelais, Tours.</ref>, <math>g(x,x)</math> (que l'on note alors <math>\eta(x,x)\,</math>) représente la pseudo-norme au carré.

Métrique minkowskienne (ou lorentzienne)

On note <math>s</math> la distance minkowskienne entre deux points <math>P_1</math> et <math>P_2</math> définie par :

<math>s^2=\eta\bigl(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_2}\bigr) = \eta_{\mu\nu}(x_2^\mu-x^\mu_1)(x_2^\nu-x_1^\nu)</math>

avec comme matrice du produit scalaire<ref>En prenant la signature Modèle:Nowrap. Certains auteurs préfèrent la signature Modèle:Nowrap.</ref> :

<math> (\eta_{\mu\nu})= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}</math>

et <math>\mathrm ds^2</math> la distance minkowskienne au carré entre deux points infiniment voisins :

<math>\mathrm ds^2 \,=\, \eta_{\mu\nu} \, \mathrm dx^\mu \, \mathrm dx^\nu</math>

Pour un vecteur <math>x</math> d'un tel espace, nous avons les définitions suivantes<ref>Ici pour la signature Modèle:Nowrap. Pour la signature Modèle:Nowrap, les définitions orienté espace et orienté temps doivent être permutées, ainsi que les définitions genre espace et genre temps.</ref> :

<math>

\begin{cases} \eta(x,x)>0 &\iff &x \, \text{est orienté dans l'espace.}\\ \eta(x,x)=0 &\iff &x \, \text{est isotrope.}\\ \eta(x,x)<0 &\iff &x \, \text{est orienté dans le temps.}\\ \end{cases}

</math>

Une courbe de cet espace-temps décrite par l'équation <math>(x^0(\tau),x^1(\tau),x^2(\tau),x^3(\tau))</math>, où <math>\tau</math> est un paramètre, admet comme vecteur tangent <math>\mathrm dx^{\mu}/\mathrm d\tau</math>. Le signe de la pseudo-norme au carré de ce vecteur est indépendant du choix de <math>\tau</math> et nous avons les définitions suivantes (cf. relativité restreinte) :

<math>

\begin{cases} \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})>0 &\iff &\text{La courbe}\,x^{\mu}(\tau)\,\text{est du genre espace.}\\ \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})=0 &\iff &\text{La courbe}\,x^{\mu}(\tau)\,\text{est du genre lumière.}\\ \eta(\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau},\frac{\mathrm dx^{\mu}}{\mathrm d\tau})<0 &\iff &\text{La courbe}\,x^{\mu}(\tau)\,\text{est du genre temps.} \end{cases}

</math>

Coordonnées rectilignes

Fichier:Rectiligne c.png

Dans le système de coordonnées d'une base quelconque <math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c})</math> de l'espace vectoriel <math>E</math>, le tenseur métrique sur <math>E</math> se représente par ses composantes dans cette base. Ces composantes prennent la forme d'une matrice symétrique <math>G</math> dont les entrées se transforment de façon covariante lors d'un changement de base:

<math>G = \begin{pmatrix} \,\vec{a}.\vec{a} &&& \vec{a}.\vec{b} &&& \vec{a}.\vec{c}\,\, \\ \,\vec{b}.\vec{a} &&& \vec{b}.\vec{b} &&& \vec{b}.\vec{c}\,\, \\ \,\vec{c}.\vec{a} &&& \vec{c}.\vec{b} &&& \vec{c}.\vec{c}\,\, \end{pmatrix} </math>

où <math>\vec{a}.\vec{b}</math> désigne le produit scalaire de <math>\vec{a}</math> et de <math>\vec{b}</math><ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Langue.</ref>.

Si l'on connaît une autre base, mais qui soit orthonormée (par rapport au produit scalaire en question, c'est-à-dire celui associé au tenseur métrique), alors, en exprimant les vecteurs de la base <math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c})</math> en fonction de cette base orthonormée, il sera facile de calculer ces produits scalaires.

Cas des coordonnées curvilignes

Lorsqu'il s'agit d'un système de coordonnées curvilignes<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Mathemathics for Physics and Physicists, Modèle:P., Walter APPEL</ref> (sur une variété différentielle ℳ de dimension <math>m</math>), nous ne pouvons pas y définir de base intrinsèque globale, car les vecteurs <math>\mathbf{e}_i</math> de la base (intrinsèque) locale varient lorsque le point courant (de coordonnées <math>x^i</math>) de ℳ varie. <math>g</math> devient alors un champ tensoriel. Le Modèle:Lien ou repère lisse de coordonnées) que l'on a utilisé repère des vecteurs infinitésimaux, donc <math>g</math> peut être vu comme un « produit scalaire infinitésimal ». On adopte alors l'écriture suivante: <math>\mathrm ds^2 = g_{ij}\mathrm dx^i\mathrm dx^j</math> (où <math>\mathrm ds</math> désigne la longueur de l'arc infinitésimal).

Calcul à partir de données extrinsèques

Fichier:Curviligne c.png

Coordonnées curvilignes.

Si ℳ est immergée dans un espace euclidien (de dimension <math>n \ge m</math>), le produit scalaire sur cet espace euclidien induira un produit scalaire sur ℳ. Recherchons le champ de tenseur métrique (induit) sur ℳ relatif à ce produit scalaire induit. Soit <math>B\,(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, ...,\mathbf{e}_n)</math> une base orthonormée de cet espace euclidien (qui est donc une base extrinsèque pour ℳ). Remarquons, au passage, que, dans une base orthonormée, les composantes du tenseur métrique sont <math> g_{ij} = \delta_{ij} </math> (cf. delta de Kronecker). Appelons <math>J</math>, la matrice jacobienne des coordonnées du point courant de ℳ dans la base <math>B</math> (donc ces coordonnées sont extrinsèques) exprimées en fonction des coordonnées curvilignes (intrinsèques à la variété ℳ) de ce même point. Les colonnes de <math>J</math>, calculée au voisinage d'un point <math>M</math> de ℳ, fournissent une approximation linéaire des lignes de coordonnées (curvilignes) au voisinage de ce point <math>M</math>, puisqu'elles donnent les composantes dans la base <math>B</math> de vecteurs qui sont tangents en <math>M</math> aux lignes de coordonnées et qui constituent la base locale <math>(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, ...,\mathbf{e}_m)</math> en <math>M</math> associée aux coordonnées curvilignes en question. Il suffit alors de calculer les <math>m^2</math> produits scalaires possibles des vecteurs de la base locale pour obtenir les composantes (dans la base locale) du tenseur métrique en <math>M</math>. Ceci revient à calculer <math>J^\mathsf{T}J</math> en <math>M</math>. Constatons que cette matrice, qui représente donc les composantes du tenseur métrique dans la base locale et que l'on notera <math>G</math>, est sa propre transposée, c'est-à-dire qu'elle est bien une matrice symétrique. Remarquons que c'est une matrice carrée (m×m), alors qu'en général, <math>J</math>, qui est une matrice (n×m), ne l'est pas (car la dimension de la variété ℳ est en général inférieure à celle de l'espace euclidien dans lequel elle est immergée).

<math>G(M) = J^\mathsf{T}(M)\,J(M)</math>

ou, en notation indicielle:

<math>g_{ij}(M)= J^k_i(M)\,J^k_j(M)</math>

Montée et descente d'indices

Le tenseur métrique permet de faire monter ou descendre les indices des composantes des vecteurs, des formes différentielles ou des tenseurs. Prenons le cas du vecteur <math> \mathbf {x} = x^\alpha \mathbf {e_\alpha} </math>. Ce vecteur permet, par l'intermédiaire du tenseur métrique, de définir la forme linéaire <math> g(\mathbf {x}, .) </math>, élément de l'espace dual, qui, à un vecteur <math> \mathbf{y} </math>, associe le réel <math> g(\mathbf {x}, \mathbf {y}) </math>. En fonction des composantes des deux vecteurs et du tenseur métrique, ce réel s'exprime sous la forme :

<math>g(\mathbf {x}, \mathbf {y}) = x^\alpha g_{\alpha \beta}y^\beta</math>

Dans la base duale <math>\mathbf {e^{\beta}}=(\mathbf {e_\beta})^{\star}</math>, cela signifie que la forme linéaire <math> g(\mathbf {x}, .) </math> a pour composantes <math>x_{\beta}= x^\alpha g_{\alpha \beta} </math>. Autrement dit, on passe des composantes d'un vecteur aux composantes de la forme linéaire associée en « abaissant les indices » au moyen du tenseur métrique, transformant le vecteur <math> x^\alpha\mathbf {e_\alpha}</math> en le covecteur <math> x_\beta \mathbf {e^{\beta}}</math>.

Réciproquement, si on se donne une forme linéaire <math> \varphi_\beta \mathbf {e^{\beta}}</math>, on reconstitue le vecteur dont elle est issue en « remontant les indices » : <math>\,\,x^\alpha = g^{\alpha \beta}\varphi_\beta</math>, le tenseur de composantes <math> g^{\alpha \beta}</math> étant le tenseur métrique inverse de <math>g</math>.

On a l'identité <math>g^{\mu \nu} \, g_{\nu \rho} \,=\, \delta^{\mu}_{\rho}\,</math>.

Distances et angles

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par <math>t</math>, partant du point <math>a</math> en <math>t_1</math> et arrivant au point <math>b</math> en <math>t_2</math> est définie par :

<math>L\,=\,\int_a^b\,\sqrt{{\mathrm ds^2}\,}\,=\,\int_a^b\,\sqrt{g_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx^j\,}\,=\,\int_{t_1}^{t_2}\,\sqrt{g_{ij}\,\frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt}\,\frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt}\,}\,\,{\mathrm dt}</math>

où <math>(x^1(t), ..., x^n(t))</math> est l'équation décrivant cette courbe dans le système de coordonnées local.

L'angle <math>\theta</math> entre deux vecteurs <math>u</math> et <math>v</math> tangents en un même point<ref>En coordonnées rectilignes (v. §Coordonnées rectilignes et §Cas des coordonnées curvilignes), l'espace tangent en un point de la variété différentielle qu'est un espace euclidien « s'identifie » à cet espace euclidien lui-même.</ref> est défini par :

<math> \cos \theta \, = \, \frac{g_{ij}\,u^i\,v^j} {\,\, \sqrt{ \, \left| \, g_{ij}\,u^i\,u^j \, \right| \,\, \left| \, g_{ij}\,v^i\,v^j \, \right|\,} \,\,} </math>

La connaissance du tenseur métrique permet également de déterminer les géodésiques de l'espace sur lequel ce tenseur est défini.

Changement de base

Lors d'un changement de base, les composantes du tenseur métrique se transforment de façon covariante, c'est-à-dire :

<math>g'_{kl} = M^i_{\ k} M^j_{\ l}\ g_{ij}</math>

où <math>M</math> est la matrice de passage d'une base dans laquelle on connaît les composantes <math> g_{ij}</math> de la métrique vers une autre base pour laquelle on cherche les composantes <math> g'_{ij}</math> de cette même métrique.

Ou encore, en notation matricielle :

<math>G' = M^TGM~</math>

Produit doublement contracté avec sa dérivée partielle

Le produit contracté doublement du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un facteur du produit et que l'on descend les indices de l'autre facteur :

<math>g^{ij} g_{ij,k} = - g_{ij} g^{ij,k}</math>.

Quelques exemples

Exemple 1

Dans un espace euclidien à 2 dimensions, en prenant un repère cartésien orthonormé, les composantes du tenseur métrique sont données par :

<math>G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>

et la longueur d'un arc de courbe vaut :

<math>L = \int_a^b \sqrt{ (\mathrm dx^1)^2 + (\mathrm dx^2)^2} </math>

Exemple 2

On se propose de calculer les composantes du tenseur métrique pour le système de coordonnées sphériques d'un espace euclidien de dimension <math>3\,</math>. Les équations suivantes nous donnent les coordonnées <math>(x,y,z)</math> d'un point de cet espace euclidien en rapport à un repère cartésien orthonormé exprimées en fonction des coordonnées sphériques de ce point <math>(r,\theta,\phi)</math> :

<math>

\begin{cases} x=r\sin\theta \cos\phi \\ y=r\sin\theta \sin\phi \\ z=r\cos\theta

\end{cases}</math>

On peut maintenant écrire la matrice jacobienne de ce changement de coordonnées :

<math>\quad J = \begin{pmatrix}

\frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \phi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\theta \cos\phi & r\cos\theta \cos\phi & -r\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r\cos\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}

</math>

En appliquant les résultats du §Calcul à partir de données extrinsèques, les composantes du tenseur métrique dans la base locale en rapport au système de coordonnées sphériques seront données par le produit de la transposée de cette matrice jacobienne par cette matrice jacobienne elle-même, donc on trouve :

<math>(\,g_{ij}\,) = J^\mathsf{T}\,J = \begin{pmatrix}

1 & & 0 & & 0 \\ 0 & & r^2 & & 0 \\ 0 & & 0 & & r^2\sin^2\theta

\end{pmatrix} </math>

Exemples de métriques

Fichier:Polar ds.png

Coordonnées polaires.

Plan euclidien, coordonnées polaires : <math>(x^1, x^2)=(r, \theta)</math>

<math>G = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix}</math>
<math>\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2~</math>

Espace euclidien, coordonnées cylindriques : <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z)</math>

<math>G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
<math>\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + \mathrm dz^2~</math>

Fichier:Spheric ds.png

Coordonnées sphériques.

Espace euclidien, coordonnées sphériques : <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi)</math>

<math>G = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0\\ 0 && r^2 && 0 \\ 0 && 0 && r^2\sin^2 \theta\end{pmatrix}</math>

<math> \mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + r^2\sin^2\theta \mathrm d\phi^2~</math>

Espace de Minkowski, espace-temps plat (relativité restreinte) : <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)</math>

<math>G = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
<math>\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2~</math>

Métrique de Schwarzschild (solution particulière de la relativité générale; l'espace est ici courbé) : <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi)</math>

<math>G = \begin{pmatrix} -(1-\frac{2Gm}{rc^2}) && 0 && 0 && 0\\ 0 && (1-\frac{2Gm}{r c^2})^{-1} && 0 && 0 \\ 0 && 0 && r^2 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && r^2 \sin^2 \theta \end{pmatrix}</math>
<math>\mathrm ds^2=-\left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)c^2\mathrm dt^2 + \left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)^{-1}\mathrm dr^2+r^2\mathrm d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm d \phi^2</math>

Notes et références

<references />

Voir aussi

• Transformation contraco
• Intervalle d'espace-temps
• Première forme fondamentale : définition du tenseur métrique dans le cas d'une surface paramétrée.

Bibliographie

• Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique, Dunod, 2007 Modèle:ISBN