Éléments (Euclide)
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Les Éléments (en grec ancien Modèle:Grec ancien / Modèle:Lang) est un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers Modèle:Date- Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.
L'ouvrage est le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est surpassé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.
Principes
La méthode d'Euclide a consisté à fonder ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surfaceModèle:Etc), cinq postulats et cinq notions ordinaires.
Postulats du livre I
- Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
- Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
- Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
- Tous les angles droits sont congruents.
- Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Notions ordinaires du livre I
Selon le mathématicien, François Peyrard (1759-1822) et le physicien Leonard Mlodinow (1954-), les notions se reportent ainsi<ref>Léonard Milodinow, Dans l'œil du compas : la géométrie d'Euclide à Einstein, p. 49. Voir aussi la traduction de Peyrard, sur remacle.org, légèrement différente.</ref> :
- Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles ;
- Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales ;
- Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales ;
- Si des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, elles sont égales entre elles ;
- Le tout est plus grand que la partie.
Postérité
Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.
Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.
Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : Modèle:Citation, a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
Histoire
Des traces écrites de notions de longueurs et d'orthogonalité apparaissent en Mésopotamie à une période située entre -1900 et -1600. On y trouve de nombreuses traces d'une connaissance du « théorème de Pythagore » au moins en tant que règle de calcul<ref>Modèle:Ouvrage donne une liste de tablettes en cunéiforme qui utilisent cette « règle de la diagonale » dans Modèle:Lang, Modèle:P..</ref>.
Bien que la plupart des théorèmess leur soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. Par exemple, si on en croit le néoplatonicien Proclus (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle), Hippocrate de Chios fut, au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle, le premier auteur connu de la tradition ayant écrit des éléments de géométrie, mais ceux-ci ne nous sont pas parvenus<ref>Cf. Modèle:Ouvrage.</ref>.
Son auteur Euclide, actif autour de 300 Modèle:Av JC, paraît avoir été influencé par Aristote (Modèle:Date-Modèle:Date). Son histoire ainsi que celle de son traité sont mal connues.
L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été transmis aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes (Adélard de Bath au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, repris par Campanus de Novare). Sa première édition<ref>Modèle:Lien web.</ref> imprimée date de 1482 et le livre connut par la suite un nombre d'éditions estimé à plus de 1 000, qui n'est très probablement dépassé que par la Bible<ref>Modèle:Ouvrage Modèle:Citation étrangère bloc</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage Modèle:Citation étrangère bloc</ref>. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, ces manuscrits sont de qualité variable.
Axiomatisation ultérieure
Les mathématiciens remarquèrent au fil du temps que les démonstrations d'Euclide nécessitaient des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple ce qui est devenu l'axiome de Pasch. David Hilbert a donné en 1899 un développement axiomatique de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace dans ses Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie), les axiomes sont explicités, et présentés de façon organisée. Hilbert dégage notamment le rôle des axiomes de parallélisme (structure affine), d'ordre et d'incidence (structure projective) et d'orthogonalité (structure « euclidienne »).
Livres
Les Éléments sont organisés comme suit.
- Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
- Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
- Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre. En particulier, les théorèmes qu'il énonce correspondent en grande partie à nos identités remarquables. Un cas particulier d'un problème correspondant à une équation du second degré est également donné.
- Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
- Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.
- Les livres V à X font intervenir les proportions :
- Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
- Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
- Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
- Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
- Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une suite géométrique, nombres parfaits.
- Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles. on y trouve, dans certaines éditions anciennes, une démonstration de l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, qui est considérée comme une interpolation tardive depuis au moins la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle.
- Les livres XI à XIII traitent de géométrie dans l'espace :
- Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
- Le livre XII compare ou calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
- Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère.
Deux livres apocryphes sont consacrés aux cinq corps platoniciens, qu'une partie de la tradition ancienne associe aux Éléments sous les noms de « Modèle:Nobr » et « Modèle:Nobr »Modèle:Sfn. Ils sont donnés comme les Modèle:Nobr et II d'Hypsiclès et traduits par François Peyrard à la fin du dernier volume de son édition des œuvres d'Euclide<ref>Modèle:Harvsp ; mais Peyrard sait que le second est d'un autre auteur, moins ancien Modèle:Harv.</ref>. Heath les donne en annexe de sa traduction.
- Le « livre XIV » est dû à Hypsiclès. Il donne des rapports entre surfaces et entre volumes pour un dodécaèdre et un icosaèdre inscrits dans une même sphère, résultats probablement dus à ApolloniusModèle:Sfn.
- Le « livre XV » est de qualité très inférieureModèle:Sfn,<ref>Peyrard dans Modèle:Harvsp.</ref>. Son auteur se réfère à un certain Isidore, qui pourrait être Isidore de Milet, ce qui renvoie sa composition au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècleModèle:Sfn.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Éditions
- Modèle:Ouvrage, huit volumes.
Édition de référence d’Euclide en grec. Elle Inclut une traduction en latin à côté du texte grec et contient tous les écrits connus (y compris ceux d’attribution douteuse), ainsi que plusieurs commentaires par des auteurs anciens. les Éléments font l'objet des volumes I (Modèle:Nobr à IV), II (Modèle:Nobr à IX), III (Modèle:Nobr) et IV (Modèle:Nobr à XII). Le Modèle:Nobr regroupe les deux livres Modèle:Nobr et XV. - Édition trilingue de François Peyrard, qui prend en compte le manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican. Le texte retenu ne correspond pas toujours à celui de l'édition Heiberg-Menge, aussi la numérotation des définitions et propositions peut diverger.
- Modèle:Ouvrage, Modèle:Nobr à VII des Éléments ;
- Modèle:Ouvrage, Modèle:Nobr à X des Éléments ;
- Modèle:Ouvrage, Modèle:Nobr à XIII des Éléments (suivis des Données d'Euclide, et de deux livres sur les cinq corps attribués à Hypsiclès, anciennement Modèle:Nobr et XV (voir ci-dessus) ;
Traductions
Français
- Euclide, Les Éléments, introduction de Maurice Caveing, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac Modèle:Détail des éditions, traduction du texte de l'édition de référence Heiberg-Menge.
- Modèle:Ouvrage, nouveau tirage ave une préface de Jean Itard, éd. Albert Blanchard 1993 ; l'édition de 1819 reprend le texte français de son édition trilingue parue en trois tomes en 1814, 1816 et 1818 ; Peyrard prend en compte pour sa traduction le manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican, dont il ne disposait pas encore pour sa traduction partielle de 1804.
- Modèle:Ouvrage, traduction par F. Peyrard des livres I, II, III, IV, VI, XI et XII ; Peyrard ne disposait pas encore du manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican pour cette traduction :
- texte et figures en ligne sur Gallica.
- numérisé au format texte sur le site L'antiquité grecque et latine du moyen âge de Philippe Remacle Modèle:Et al.
- Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant traduction de Denis Henrion, 1632, lire en ligne sur Gallica.
Anglais
- Traduction de l'édition Heiberg-Menge par Thomas Heath avec introduction et commentaires, 1908 (2nd édition 1926), la seconde édition des deux premiers volumes et la première du troisième sont accessibles sur wilbourhall.org, la seconde édition des trois volumes a été réimprimée en 1956 par Dover Publications, New York :
Études
Liens externes
Modèle:Autres projets Modèle:Liens
- Modèle:Lien web.
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} www.wilbourhall.org éditions et traductions numérisées des Éléments, dont l'édition bilingue grec-latin par Heiberg et Modèle:Lien de 1886, ainsi que d'ouvrages en rapport avec les Éléments (et autres œuvres d'Euclide).
- Modèle:Lien web.
- Modèle:Lien web, liste des éditions d'Euclide au Moyen-âge.
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien, [[iarchive:firstsixbooksofe00eucl|Modèle:Langue]] (Modèle:Langue), 1847.
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Euclid's Elements adapté pour Internet par D. E. Joyce, à partir de la traduction de T.L. Heath.
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