Image directe

Fichier:Schéma image directe.png

Schéma de l'image directe <math>f(A)</math> du sous-ensemble A d'une fonction injective mais non surjective (donc non bijective).

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : X → Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

<math>f(A) = \{f(x)\mid x \in A\}=\{y \in Y\mid \exists a \in A, y=f(a)\}.</math>

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :<math>\mathrm{Im}(f)=f(X).</math>
• On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f<ref>Pour éviter toute confusion, Modèle:MacLaneBirkhoff1, vol. 1, Modèle:P., parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent f_*.</ref>.
• Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties <math>A_1</math> et <math>A_2</math> de <math>X</math>,<math> f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2).</math>Plus généralement, pour toute famille <math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math> de parties de <math>X</math>,<math>f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i).</math>
• Pour toutes parties <math>A_1</math> et <math>A_2</math> de <math>X</math>,<math> f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1)\cap f(A_2)</math>et cette inclusion peut être stricte, sauf si <math>f</math> est injective<ref name=Wikiversité/>.
  On peut même prouver que <math>f</math> est injective si et seulement si pour toutes parties <math>A_1</math> et <math>A_2</math> de <math>X</math>, on a <math> f\left(A_1 \cap A_2\right) = f(A_1)\cap f(A_2)</math>.

Plus généralement, pour toute famille non vide <math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math> de parties de <math>X</math>,

<math>f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)</math>.

• Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque fModèle:-1(B) ; plus précisément<ref name=Wikiversité>Modèle:Note autre projet</ref> :<math>f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f).</math>En particulier, si <math>f</math> est surjective alors <math>f(f^{-1}(B))=B</math>.

On peut même prouver que <math>f</math> est surjective si et seulement si pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math> on a <math>f(f^{-1}(B))=B</math>.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :<math>A\subset f^{-1}(f(A))</math>et cette inclusion peut être stricte, sauf si <math>f</math> est injective<ref name=Wikiversité/>. On peut même prouver que <math>f</math> est injective si et seulement si pour toutes parties <math>A</math> de <math>X</math>, on a <math>A = f^{-1}(f(A))</math>.
• Si l'on considère de plus une application <math>g:Y\rightarrow Z</math>, alors l'image directe d'une partie A de X par la composée <math>g\circ f:X\to Z</math> est :

  <math>(g\circ f)\left(A\right)=g(f(A))</math>.

Articles connexes

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)