Théorème de Stokes

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1. REDIRECT Modèle:Voir homonymes

Fichier:Lord Kelvin photograph.jpg

William Thomson (Lord Kelvin).

Fichier:SS-stokes.jpg

George Stokes.

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Stokes-Cartan) est un résultat central sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise le second théorème fondamental de l'analyse, ainsi que de nombreux théorèmes d'analyse vectorielle. Il possède de multiples applications, fournissant ainsi un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.

Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à démontrer ce résultat est en réalité le scientifique russe Ostrogradsky qui le présenta à Paris dans les années 1820. Lord Kelvin le redécouvrit 20 ans plus tard à Cambridge et en énonça un résultat particulier pour le rotationnel d'un champ de vecteurs. Le mathématicien et le physicien entretiennent à ce sujet une correspondance active de 1822 à 1853<ref>Modèle:Wilson1.</ref>. Ce résultat est parfois appelé Modèle:Lien, ou parfois simplement théorème de Stokes, ce qui est une erreur historique<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, même pour le cas particulier du théorème concernant la circulation du rotationnel, qu'on trouvera décrite dans le paragraphe concernant le sens physique du théorème.

Énoncé et démonstration

Modèle:Théorème La démonstration actuelle demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; son apparente simplicité est trompeuse. L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.

Soit Modèle:Math un recouvrement localement fini de Modèle:Mvar par des domaines de cartes locales <math>\phi_i:U_i\rightarrow \phi_i(U_i)\subset \R^n</math>, telles que :

<math>\phi_i(U_i\cap \partial M)=\phi_i(U_i)\cap (\{0\}\times \R^{n-1}).</math>

Introduisons Modèle:Mvar une partition de l'unité subordonnée à Modèle:Math. Comme le support de Modèle:Mvar est fermé, la forme différentielle Modèle:Mvar s'écrit :

<math>\omega=\sum \chi_{i}\omega</math>

où la sommation est à support fini. Posons <math>\beta_i=\phi_i^*\left[\chi_i\omega\right]</math>, forme différentielle à support compact de Modèle:Math = ℝ₊×ℝ^n–1. La restriction <math>\phi_i|_{\partial M}</math> est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations induites. On a donc :

<math>\int_{\partial M}\!\left[\chi_i\omega\right]=\int_{\partial M'}\! \beta_i.</math>

Comme Modèle:Mvar commute avec l'opérateur de différentiation Modèle:Math, on a :

<math>\int_M\! \mathrm d\left[\chi_i\omega\right]=\int_{M'}\! \mathrm d\beta_i.</math>

Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier Modèle:Math = ℝ₊×ℝ^n–1.

Une (n-1)-forme Modèle:Mvar sur Modèle:Math = ℝ₊×ℝ^n–1 s'écrit :

<math>\omega=\sum_{i=1}^n f_i\cdot \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n</math>

où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :

<math>\begin{align}\mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \mathrm dx_j \right)\wedge \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n\\ &=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_1\wedge\dots\wedge\mathrm dx_n.\end{align}</math>

Le théorème de Fubini donne :

<math>\begin{align}

\int_{\R_+\times\R^{n-1}}\! \mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n\int_{\R_+\times\R^{n-1}} (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_1 \dots \mathrm dx_n\\

&=\int_{\R^{n-1}}\!\left(\int_0^{+\infty}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \mathrm dx_1\right) \mathrm dx_2\dots\mathrm dx_n+ \sum_{i=2}^n \int_{\R_+\times\R^{n-2}} (-1)^{i-1}\!\left(\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i \right)\mathrm dx_1\dots\widehat{\mathrm dx_i}\dots\mathrm dx_n.\end{align}</math>

L'hypothèse que la forme Modèle:Mvar est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes <math>\textstyle\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i</math> pour Modèle:Math sont tous nuls :

<math>\int_{\R_+\times\R^{n-1}}\!\mathrm d\omega =-\int_{\R^{n-1}} f_1(0,x_2,\dots,x_n) \mathrm dx_2\dots \mathrm dx_n=\int_{\R^{n-1}} i^*\omega,</math>

d'où le résultat.

Théorème fondamental de l'intégration

Si Modèle:Mvar est une fonction Modèle:Math de la variable réelle, alors Modèle:Mvar est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est Modèle:Math. Le bord orienté de Modèle:Math est Modèle:Math (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation –), quelles que soient les valeurs relatives de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. La formule de Stokes donne dans cette situation :

<math>\int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a).~</math>

En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le second théorème fondamental de l'analyse et un argument de partition de l'unité.

Formule de Green-Riemann

Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Mvar un domaine compact lisse de ℝ² et Modèle:Math une 1-forme différentielle sur ℝ². Alors, la formule de Stokes s'écrit :

<math>\int_{\partial U} \alpha = \int_{\partial U}\! [f \mathrm dx+g \mathrm dy]=\iint_U \left[\frac{\partial g}{\partial x} -\frac{\partial f}{\partial y}\right] \,\mathrm dx\,\mathrm dy.</math>

La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

Formule d'Ostrogradski

Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Mvar un domaine compact à bord lisse de ℝModèle:3 et posons Modèle:Math une forme volume sur ℝModèle:3. Si Modèle:Mvar est un champ de vecteurs sur un voisinage ouvert de Modèle:Mvar, alors sa divergence Modèle:Math vérifie

<math>\mathrm d(\iota_X\omega)=\mathrm{div}(X)\cdot\omega</math>

où Modèle:Mvar désigne le produit intérieur de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar. La formule de Stokes s'écrit alors

<math>\int_{\partial K} \iota_X\omega = \int_K \mathrm{div}(X)\cdot\omega</math>

soit, dans les coordonnées où Modèle:Math,

<math>\iint_{\partial K}\! \left[f \mathrm dy\wedge \mathrm dz+g \mathrm dz\wedge \mathrm dx+h \mathrm dx\wedge \mathrm dy\right]=\iiint_K\! \left[\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right]\, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.</math>

Sens physique de la formule de Stokes

Notons <math>\mathrm d\vec S</math> le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine Modèle:Mvar relativement compact à bord régulier. Soit Modèle:Mvar un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de Modèle:Mvar. On définit la forme surfacique sur Modèle:Math par :

<math>\eta=\iota(N)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)\big|_{\partial U}.</math>

On définit le flux de Modèle:Mvar par :

<math>\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_{\partial U}\langle X\mid N\rangle\cdot \eta.</math>

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

<math>\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_U (\mathrm{div} X) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.</math>

Soit Modèle:Math une courbe fermée orientée dans ℝModèle:3, Modèle:Mvar une surface orientée dont le contour est Modèle:Math. L'orientation de Modèle:Math est induite par l'orientation de Modèle:Mvar. Si le champ vectoriel <math>\vec{V}</math> admet des dérivées partielles continues, alors :

<math>\oint_{\partial S}\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_{S}\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S</math>

où <math>\mathrm d\vec l</math> est le vecteur directeur de la courbe en tout point, <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \vec V= \vec\nabla \wedge \vec V </math> le rotationnel de <math>\vec V</math>, et <math>\mathrm d \vec S</math> le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique). De même, le théorème de flux-divergence permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme.

Application à l'homologie

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.

Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.

Bibliographie

• Alexandru Oancea, Notes de cours de Géométrie différentielle, [1]
• Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. 1983