Identité d'Euler
Modèle:Confusion En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :
où la [[e (nombre)|base Modèle:Math du logarithme naturel]] représente l'analyse, l'unité imaginaire Modèle:Math représente l'algèbre, la constante d'Archimède Modèle:Math représente la géométrie, Modèle:Refsou<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais Roger Cotes, mort en 1716.
Démonstration
Par l'analyse complexe
Puisque Modèle:Math et Modèle:Math, cette formule est le cas particulier Modèle:Math de la formule d'Euler en analyse complexe (pour tout nombre réel Modèle:Math).
C'est aussi le cas particulier n = 2 de la nullité de la somme des racines n-ièmes de l'unité.
Par la géométrie
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Juxtaposition de 8 triangles rectangles
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Juxtaposition de 16 triangles rectangles
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Illustration du résultat
L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.
- <math>\forall z\,\in\mathbb{C} \quad \mathrm e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n </math>
or, les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées <math>\left(1 + \dfrac{\mathrm i\pi}N\right)^N</math> est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Beauté mathématique
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique<ref name=Gallagher2014>Modèle:Article.</ref>.
En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} John Allen Paulos, Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin, 1992 Modèle:ISBN, p. 117.</ref> :
- 0, l'élément neutre de l'addition.
- 1, l'élément neutre de la multiplication.
- [[pi|Modèle:Math]], omniprésente en trigonométrie, en géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (Modèle:Math = 3,14159265...)
- [[e (nombre)|Modèle:Math]], base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (Modèle:Math = 2,718281828...). Tout comme Modèle:Math, c'est un nombre transcendant.
- [[Unité imaginaire|Modèle:Math]], l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir leur usage élargi.
L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la notation polonaise inverse de la formule d'Euler :
- 0 ; 1 ; e ; i ;π ; * ; ^ ; +; =
De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.
On en déduit que l'exponentielle complexe est Modèle:Math-périodique.
Hommages
Paul J. Nahin, professeur émérite de l'université du New Hampshire, écrit dans son ouvrage consacré à l'identité d'Euler et ses applications en analyse de Fourier que la formule définit Modèle:Citation<ref name=Crease>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien, « Modèle:Lang », PhysicsWeb, mars 2007 (accès sur inscription).</ref>.
Quand l'identité d'Euler fut révélée à Benjamin Peirce, il déclara : Modèle:Citation<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press, 1998 Modèle:ISBN, p. 160 et {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Edward Kasner et James R. Newman, Modèle:Lien, Dover, 2013 (Modèle:1e éd. Simon & Schuster, 1940), p. 103-104.</ref>.
Le célèbre physicien Richard Feynman la considère même comme Modèle:Citation.
L'identité d'Euler apparaît également dans le roman La Formule préférée du professeur de Yōko Ogawa.
Histoire
Le mathématicien anglais Roger Cotes (mort en 1716, quand Euler avait seulement Modèle:Nb) connaissait cette identité. Euler pourrait en avoir appris l'existence par son compatriote suisse Johann Bernoulli<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Charles Edward Sandifer, The Early Mathematics of Leonhard Euler, American Mathematical Society, Modèle:P.. Modèle:ISBN</ref>.
