Développement décimal périodique

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Modèle:Exemple flottant En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc.

Exemple introductif

Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée (à 10–12 près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque :

<math>1{,}333333333333 \times 3 = 3{,}\underbrace{999999999999}_{12\ \mathrm{chiffres}}<3{,}\underbrace{9999999999999}_{13\ \mathrm{chiffres}}<\dotsb<4.</math>

L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1.

Pour écrire exactement le quotient 4/3 en notation décimale, il faudrait donc répéter le chiffre 3 à l'infini. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas.

Notations

Modèle:Exemple flottant Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties :

Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la (plus courte) période de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant.

Développement périodique et nombre rationnel

Écriture décimale d'un rationnel

Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté a priori sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 :

5, 0 0 0 0 0 0 74
– 4 4 4 0,06756…
5 6 0  
– 5 1 8  
4 2 0  
– 3 7 0  
5 0 0  

etc. On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on « abaisse le 0 », on divise à nouveau 500 par 74. On se retrouve dans la même situation qu'au départ. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675… = 0,0Modèle:Souligner. Le résultat est prévisible. Les seuls restes possibles — dans ce cas il y en a 74 — sont : 0, 1, 2, … et 73. Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète. On peut remarquer de plus que les décimales obtenues sont les mêmes si l'on change la représentation fractionnaire de départ (par exemple Modèle:Math).

Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante :

Modèle:Théorème

Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas :

Il reste à étudier le résultat d'une division de Modèle:Math par Modèle:Math lorsque Modèle:Math est strictement supérieur à Modèle:Math et premier avec Modèle:Math et Modèle:Math. Dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'un développement décimal périodique, dont la période est différente de Modèle:Math et Modèle:Math et commence immédiatement après la virgule. De plus, la longueur de cette période — dont la valeur sera précisée plus loin — est strictement inférieure à Modèle:Math.

Modèle:Exemple

Modèle:Démonstration/début On effectue la division euclidienne Modèle:Math de Modèle:Math par Modèle:Math, puis les divisions successives de Modèle:Math par Modèle:Math, donnant pour quotient Modèle:Math et pour reste Modèle:Math. Le reste n'est jamais nul puisque par hypothèse, Modèle:Sfrac n'est pas un nombre décimal. La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes Modèle:Math sont les restes de la division euclidienne de Modèle:Math par Modèle:Math.

L'algorithme de division assure que, pour tout Modèle:Math : Modèle:Math. Le quotient Modèle:Sfrac a donc bien pour développement décimal Modèle:Math.

La suite des restes est périodique (dès le début) et la longueur Modèle:Math de sa période est strictement inférieure à Modèle:Math. Le reste est toujours strictement compris entre Modèle:Math et Modèle:Math. À chaque étape, il n'y a donc que Modèle:Math restes possibles, si bien qu'on ne peut pas opérer Modèle:Math étapes sans rencontrer deux restes identiques. Notons Modèle:Math et Modèle:Math les deux premiers (avec donc Modèle:Math). Pour tous Modèle:Math, Modèle:Math si et seulement si Modèle:Math et Modèle:Math ont même reste dans la division par Modèle:Math, c'est-à-dire si l'entier Modèle:Math est un multiple de Modèle:Math, ou encore — puisque Modèle:Math est premier avec Modèle:Math et Modèle:Math — si Modèle:Math divise Modèle:Math. Par conséquent, Modèle:Math et la suite Modèle:Math est périodique, avec une période de longueur Modèle:Math.

Le développement décimal est périodique, sa période commence juste après la virgule, et la longueur de sa période divise Modèle:Math. Cela résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que Modèle:Math est le quotient de la division euclidienne de Modèle:Math par Modèle:Math.

La période n'est ni Modèle:Math ni Modèle:Math. Une période Modèle:Math donnerait (pour tout Modèle:Math) Modèle:Math et une période Modèle:Math donnerait de même Modèle:Math, ce qui est impossible. Modèle:Démonstration/fin

Écriture fractionnaire d'un développement périodique

Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que Modèle:Math, lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de Modèle:Math permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale.

Modèle:Exemple

Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de Modèle:Math pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.

Modèle:Exemple

Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :

Modèle:Théorème</math> peut s'écrire

<math>0,\underline{a_1a_2\dots a_{\ell}}=\frac{a_1a_2\dots a_{\ell}}{\underbrace{99\dots 9}_{\ell\text{ chiffres}}}.</math>

|style=display:table}}

Le cas des nombres décimaux

Modèle:Article détaillé Un nombre décimal est le quotient d'un entier par une puissance de Modèle:Math. On a montré Modèle:Supra que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période Modèle:Math.

Or la méthode du § précédent fournit des développements impropres. Par exemple, [[Développement décimal de l'unité#Manipulation des décimales|elle conduit à l'égalité Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Math]], qui est parfois contestée de façon naïve (voir l'article « Développement décimal de l'unité », qui en donne d'autres preuves et analyse les incrédulités à ce sujet ; le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal).

En résumé : Modèle:Théorème

Exemples
2,5 = 2,4Modèle:Souligner.
–0,6001 = –0,6000Modèle:Souligner.

Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. Par exemple :

  • la [[Développement décimal de l'unité#Fractions et divisions posées|multiplication par Modèle:Math du développement décimal propre de Modèle:Math]] est l'une des méthodes pour convaincre que Modèle:Math ;
  • lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 – x connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée :
    x = 0,52121… = 0,5Modèle:Souligner
    1 – x = 0,99999… – 0,52121… = 0,47878… = 0,4Modèle:Souligner.

Période de Modèle:Math

La connaissance d'une période pour le développement décimal de Modèle:Math permet d'en découvrir par multiplication pour tout quotient Modèle:Math. Le développement de Modèle:Math possède plusieurs périodes (il suffit, pour en créer une nouvelle, de mettre bout à bout deux périodes identiques) ; l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera la période et d'en déterminer certaines propriétés.

Longueur de la période

Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de Modèle:Math par Modèle:Math. Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de Modèle:Math par Modèle:Math. Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre multiplicatif<ref name=Ordre>C'est-à-dire le plus petit entier Modèle:Math tel que Modèle:Math soit divisible par Modèle:Math, ou encore : l'ordre de Modèle:Math dans le groupe multiplicatif des [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|inversibles de Modèle:Math]].</ref> de Modèle:Math modulo Modèle:Math :

Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration/début On a déjà démontré Modèle:Supra que le cas général se ramène au cas où Modèle:Math est premier avec Modèle:Math et strictement supérieur à Modèle:Math, et qu'alors :

Il ne reste donc plus qu'à vérifier que Modèle:Math divise Modèle:Math. Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » ci-dessus,

<math>\frac{r_0}n=0,\underline{a_1a_2\dots a_{\ell'}}=\frac{a_1a_2\dots a_{\ell'}}{10^{\ell'}-1},</math>

si bien que Modèle:Math divise Modèle:Math. Puisqu'il est premier avec Modèle:Math donc avec Modèle:Math, il divise Modèle:Math, c'est-à-dire que Modèle:Math est un multiple de Modèle:Math. Modèle:Démonstration/fin

En particulier :

Lorsque Modèle:Math est un nombre premier différent de Modèle:Math et Modèle:Math, la longueur de la période de Modèle:Math peut être égale à Modèle:Math (la longueur maximale pour une division par un entier Modèle:Math<ref>Si Modèle:Math est premier, Modèle:Math, tandis que si Modèle:Math est composé, Modèle:Math.</ref>) ; par exemple :

<math>\frac17=0{,}\underline{142857}\quad{\rm et}\quad\frac1{17}=0{,}\underline{0588235294117647}.</math>

Elle peut aussi être plus petite, comme pour

<math>\frac 1{11}=0,\underline{09}\quad{\rm et}\quad\frac1{13}=0,\underline{076923}.</math>

Les périodes de longueur maximale sont donc celles des fractions Modèle:Math où Modèle:Math est un nombre premier pour lequel l'ordre de Modèle:Math est Modèle:Math<ref name = "boyer">Modèle:Ouvrage.</ref>. On dit alors que Modèle:Math est une [[Racine primitive modulo n|racine primitive modulo Modèle:Math]]. Ces nombres, appelés parfois "nombres premiers longs", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée A006883 dans l'encyclopédie des suites entières, ou A001913 si l'on excepte le 2.

Emil Artin a émis l'hypothèse que cette suite est infinie et que sa densité parmi les nombres premiers est une constante (la même quand on remplace Modèle:Math par certains autres entiers), valant environ Modèle:Math (voir l'article sur la Conjecture d'Artin sur les racines primitives)<ref name = "boyer"/>.

Lorsque Modèle:Math n'est pas premier, Modèle:Math. La longueur de la période doit diviser Modèle:Math et elle n'est jamais maximale. Ainsi, la longueur de la période de Modèle:Math doit diviser Modèle:Math. Effectivement, la période de Modèle:Math est de longueur Modèle:Math :

<math>\frac1{21}=0,\underline{047619}.</math>

Caractérisation pratique des nombres premiers longs

En utilisant le fait que <math>10^d-1=9\times\underset{d\text{ chiffres 1}}{\underbrace{11...1}}</math> on obtient la caractérisation :

Modèle:Théorème{\underbrace{11...1}}</math>, avec <math>d</math> diviseur propre de

<math>p-1</math>.}}

Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres <math>R_d</math> appelés communément "répunits" :

<math>R_3=3. 37</math> , <math>R_4 = 11. 101</math>, <math>R_5 = 41. 271</math>, <math>R_6 = 3. 7. 11. 13. 37</math>, <math>R_7 = 239. 4649</math>Modèle:Etc.

1/13 n’est donc pas à période maximale car 13 divise <math>R_6</math>, avec 6 diviseur de 12 ;

1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise <math>R_6</math>, avec 6 diviseur de 36 ;

1/41 n’est pas à période maximale car 41 divise <math>R_5</math>, avec 5 diviseur de 40Modèle:Etc.

Cycle et permutation

Si Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux, la division posée pour Modèle:Math permet de trouver aussi les développements décimaux de Modèle:Math pour tous les restes intervenant dans la division. En effet, Modèle:Math a pour quotient Modèle:Math et pour reste Modèle:Math dans la division par Modèle:Math. On retrouve alors, pour le développement périodique de Modèle:Math, celui de Modèle:Math ayant seulement subi une permutation circulaire et commençant à Modèle:Math. Ainsi, on a

<math>\frac1n=0{,}\underline{a_1\dots a_{\ell}},\quad\frac{r_k}n=0{,}\underline{a_{k+1}\dots a_{\ell}a_1\dots a_k}</math>

et l'écriture fractionnaire donne

<math>\frac{a_{k+1}\dots a_la_1\dots a_k}{9\dots9}=\frac{r_k}n=r_k\times\frac1n=\frac{r_k\times a_1\dots a_{\ell}}{9\dots9}.</math>

En observant les numérateurs, on peut voir que multiplier la période de Modèle:Math par Modèle:Math équivaut à effectuer une permutation circulaire sur les chiffres de ce nombre.

Lorsque la période de Modèle:Math est de longueur maximale, les restes parcourent tous les entiers de Modèle:Math à Modèle:Math. Dans ce cas, en multipliant la période de Modèle:Math par tout entier Modèle:Math, on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. La nouvelle période obtenue sera celle de Modèle:Math.

Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres Modèle:Math pour lesquels Modèle:Math est d'ordre Modèle:Math. C'est le cas par exemple de Modèle:Math (période de Modèle:Math) ou Modèle:Math (période de Modèle:Math) qui sont des nombres cycliques<ref name = "boyer"/>. On a ainsi, pour Modèle:Math, dont les restes sont successivement Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:MathModèle:Etc.<ref name = "boyer"/>:

  • 1 × 142857 = 142857 ;
  • 3 × 142857 = 428571 ;
  • 2 × 142857 = 285714 ;
  • 6 × 142857 = 857142 ;
  • 4 × 142857 = 571428 ;
  • 5 × 142857 = 714285.

(7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de Modèle:Math).

Lorsque la période de Modèle:Math est de longueur Modèle:Math, seuls Modèle:Math entiers sont concernés, chacun associé à une permutation circulaire de la période de Modèle:Math. Si l'entier Modèle:Math, inférieur à Modèle:Math et premier avec Modèle:Math, ne fait pas partie de ce premier groupe, on a encore

<math>m\times\frac1n=\frac{m\times a_1\dots a_{\ell}}{9\dots9}.</math>

Puisque Modèle:Math, le produit Modèle:Math est strictement inférieur à Modèle:Math. Il s'écrit donc Modèle:Math et constitue la période de

<math>\frac mn=\frac{b_1\dots b_{\ell}}{9\dots9}=0{,}\underline{b_1\dots b_{\ell}},</math>

différente de la précédente. À chaque permutation de cette nouvelle période est associé un quotient de la forme Modèle:Math, où Modèle:Math est l'un des Modèle:Math restes de Modèle:Math. On répartit ainsi tous les entiers premiers avec Modèle:Math et inférieurs à Modèle:Math dans des ensembles disjoints deux à deux contenant Modèle:Math restes consécutifs et associés à Modèle:Math périodes différentes.

Pour Modèle:Math par exemple, on a Modèle:Math et Modèle:Math a pour période Modèle:Math. Cette période engendre 5 autres périodes qui sont les seules possibles, à une permutation circulaire près, de tout quotient Modèle:Math où Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux.

Modèle:Théorème

Construction

Si Modèle:Math est premier avec Modèle:Math, on peut construire la période de Modèle:Math en posant la division mais on peut aussi la reconstituer uniquement par multiplication à partir de son dernier terme.

L'égalité

<math>10r_{\ell-1}=a_{\ell}n + r_{\ell}=a_{\ell}n+1</math>

permet de dire que

<math>a_{\ell}n \equiv 9\pmod {10}</math>

ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par Modèle:Math.

Comme Modèle:Math est premier avec Modèle:Math, un tel nombre Modèle:Math existe. Il n'en existe d'autre part qu'un seul compris entre Modèle:Math et Modèle:Math. On peut le trouver en résolvant l'équation diophantienne Modèle:Math. Le nombre Modèle:Math étant trouvé, on en déduit la valeur de Modèle:Math.

D'autre part, si l'on note

<math>a_1\dots a_{\ell}</math>

la période recherchée, on sait, par permutation circulaire, que

<math>r_{\ell-1} \times a_1\dots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\dots a_{\ell-1}.</math>

Ce produit permet de déterminer Modèle:Math qui, réinjecté dans la même égalité, permet de trouver Modèle:Math et de proche en proche, permet de découvrir tous les chiffres de la période.

Par exemple, pour déterminer la période de Modèle:Math, on cherche d'abord le chiffre qui multiplié par Modèle:Math donne un nombre se terminant par Modèle:Math. Puisque Modèle:Math, on peut poser

<math>a_{\ell}= 7</math>

puis, comme

<math>10r_{\ell-1} = 7 \times 7 + 1,</math>

on sait que

<math>r_{\ell-1} = 5.</math>

Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la multiplication à trous

<math>5\times a_1\dots a_{\ell} = a_{\ell}a_1\dots a_{\ell-1}</math>
. . . . . 7
× 5
.3 5
. . . . 5 7
× 5
. 2 8 5
. . . 8 5 7
× 5
. 4 2 8 5
. . 2 8 5 7
× 5
. 1 4 2 8 5
. 4 2 8 5 7
× 5
. 2 1 4 2 8 5
1 4 2 8 5 7
× 5
7 1 4 2 8 5

Ce principe peut être utilisé dans la construction de la [[#Cycle et permutation|période de Modèle:Math]], dont le dernier chiffre est Modèle:Math et dont l'avant-dernier reste est Modèle:Math.

Structure

On se place ici dans le cas où n est premier, supérieur ou égal à 7 et l'on suppose que la période la plus courte de 1/n est de longueur ℓ = st où s > 1. La période est alors constituée de s blocs de t chiffres. Si l'on note A1, … As ces blocs, ils peuvent être vus comme l'écriture décimale de s nombres. La somme de ces s nombres est alors toujours un multiple de 10t – 1 = 99…9. De plus, on peut démontrer<ref>Modèle:Article.</ref> que si le nombre de blocs n'est que de 2 ou 3, la somme est exactement égale à 10t – 1.

Par exemple, la période de 1/7 est 142857, partageable en 6, 3 ou 2 blocs :

  • en deux blocs : 142 + 857 = 999 ;
  • en 3 blocs : 14 + 28 + 57 = 99 ;
  • en 6 blocs : 1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 (divisible par 9).

Cette propriété porte le nom de théorème de Midy.

Fragments d'histoire

L'écriture décimale des entiers apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques notamment en Orient. L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale<ref>Modèle:ChemlaShuchun, Modèle:P..</ref>. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien Ibrahim Uqlidisi au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle quand il présente le système de numération indien<ref>Modèle:Crossley, Modèle:P..</ref> mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant<ref>Modèle:Benoît Chemla Ritter, Modèle:P..</ref>. Le système décimal arrive en Europe tardivement (vers le Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle) et c'est Simon Stevin qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. Dans son traité La Disme, écrit en 1585, il précise les méthodes de calcul sur les écritures décimales et envisage que celles-ci puissent être illimitées et s'appliquer même à des nombres irrationnels (nombres incommensurables)<ref>Modèle:Harvsp.</ref>,<ref>Voir quelques extraits du texte de Stevin.</ref>.

Au cours du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} John Marsh, Decimal Arithmetic Made Perfect, Londres, 1742, Modèle:P..</ref>, qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. H. Clarke<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} H. Clarke, The Rationale of Circulating Numbers, Londres, 1777, Modèle:P.-16.</ref> préfère l'apostrophe tandis que d'autre utilisent des accents avant et après la période<ref>Modèle:Cajori, paragraphe 289.</ref>. Tout est fait pour faciliter le calcul des fractions sous forme décimale et, tout comme il existe des tables de logarithmes ou des tables de sinus, existent aussi des tables de périodes. Jean le Rond D'Alembert en publie dans son Encyclopédie méthodique<ref>Jean Le Rond d'Alembert, Jerôme de La Lande, Charles Bossut, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, Encyclopédie méthodique : Mathématiques, Panckoucke, 1785, Modèle:Google Livres, article « Fraction », Modèle:P..</ref>. La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. On trouve ainsi dans Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au Modèle:1er an 10, avec des tables de rapports et de réductions, par C.H. Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50<ref>R. Mansuy, Les calculs du citoyen Haros, janvier 2008.</ref>.

Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) par Modèle:Lien (1887), d'après un portrait par Christian Albrecht Jensen (1840).

Une grande avancée et une formalisation de ces notions sont faites par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss se préoccupe de déterminer facilement le développement périodique de tout rationnel. Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par n qu'il appelle les résidus. Il définit l'ordre d'un nombre modulo n comme le plus petit entier non nul k tel que ak ait pour reste 1 modulo n. Il s'intéresse aux racines primitives : celles dont les puissances modulo n permettent de donner tous les entiers inférieurs à n et premier avec n. Une racine primitive a étant choisie, il définit l'indice d'un nombre b comme l'entier i tel que ai a pour reste b modulo n. Cet indice i s'appelle de nos jours le logarithme discret. Il remarque que si n est premier ou puissance d'un nombre premier, il existe des racines primitives. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. Il remarque que toute fraction peut se décomposer en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de nombre premier. Pour chacun de ces dénominateurs n, il détermine une racine primitive a modulo n. Il détermine ensuite l'indice i de 10 dans la base a. Il sait alors que la période de 1/n a pour longueur φ(n)/i, dont il détermine la valeur. Il prouve ensuite que la fraction m/n a une période de même longueur et que cette période est à choisir entre i périodes différentes, à une permutation près. Il démontre ensuite que l'indice de m lui permet de déterminer quelle période il doit choisir ainsi que la permutation à effectuer. Il fournit alors pour chaque entier n, premier ou puissance de nombre premier, des tables donnant les périodes et les indices de tous les nombres premiers inférieurs à n<ref name="Cousquer">Modèle:Lien web. — Présentation du texte de Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, et son utilisation pour les développements décimaux périodiques.</ref>.

On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de

<math>X= \frac{251}{351}.</math>

La première étape consiste à décomposer 351 en produit de facteurs premiers :

<math>351 = 3^3\times 13.</math>

Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. Il faut trouver deux entiers x et y tels que

<math>X= \frac x{27}+\frac y{13}.</math>

La résolution de l'équation diophantienne 13x + 27y = 251 donne pour décomposition :

<math>X= \frac {11}{27}+\frac 4{13}</math>.

On prend d'abord n = 27. La table numérique fournit comme racine primitive 2, l'indice de 10 est de 6, et l'indice de 11 est 13 = 2×6 + 1<ref name="Cousquer"/>. Il existe 6 périodes possibles et celle associée à l'indice 1 est, d'après les tables<ref name="Cousquer"/>, 074 donc la période associée à 11 est 074 permutée de deux cases, soit 407 :

<math>\frac{11}{27}=0,\underline{407}.</math>

On prend ensuite n = 13. La table<ref name="Cousquer"/> donne deux périodes, la racine primitive est 6, et 4 est d'indice 10 = 5×2. La période de 4 est la période d'indice 0 (076923) décalée de 5 cases :

<math>\frac{4}{13}=0,\underline{307692}.</math>

La somme de ces deux nombres a une période de longueur multiple commun des deux longueurs, ici, de longueur 6.

<math> X= 0,\underline{407407}+ 0,\underline{307692}=0,\underline{715099}.</math>

À partir du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle et jusqu'au développement des calculatrices, nombreux sont les ouvrages permettant de calculer à la main les périodes des nombres fractionnaires.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence <references/>

Voir aussi

Lien externe

Modèle:Lien web

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