Répunit

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est la francisation de l'anglais Modèle:Lang, contraction de l'expression Modèle:Lang (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique<ref>Modèle:Lien web.</ref> », « multi-as<ref>Modèle:Article.</ref> », ou « répun<ref>Modèle:Article.</ref> » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé.

Définition

Les répunits en base dix sont définis par :

<math>R_n= \frac{10^n-1}{9}\qquad\mbox{pour }n\ge1.</math>

Plus généralement, ils sont donnés en base b, par :

<math>R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\sum_{k=0}^{n-1}b^k\qquad\mbox{pour }n\ge1.</math>

Ainsi, le nombre Modèle:Math s'écrit comme la juxtaposition de Modèle:Math chiffres Modèle:Math.

Histoire

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base 10 ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique<ref name=Dickson>Modèle:Dickson1, vol. 1, 1999, Modèle:P..</ref>.

Il a été trouvé très tôt que, pour tout nombre premier p supérieur à 5, la période du développement décimal de 1/p est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par p. Les tableaux de la période de réciprocité des nombres premiers jusqu'à Modèle:Nombre ont été publiés en 1860, et ont permis la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R₁₆ et plus. En 1880, même R₁₇ à R₃₆ ont été factorisés<ref name=Dickson/> et il est curieux de constater que, bien que Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions n'avait une période égale à dix-neuf, il n'y a eu aucune tentative en vue de tester ceci jusqu'au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe a prouvé en 1916 que R₁₉ est premier<ref>Modèle:Article.</ref> et Lehmer et Kraïtchik ont indépendamment prouvé la primalité de R₂₃ en 1929. Des avancées dans l'étude des répunits n'ont pas eu lieu jusque dans les années 1960, quand les ordinateurs ont permis à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham a documenté entre autres les factorisations des répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Exemples

Les premiers termes de la suite des répunits sont :

1, 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (Modèle:OEIS).

Les répunits en base 2 (répunits binaires) sont les nombres de Mersenne M_n = 2ⁿ – 1.

Propriétés

• Les répunits en base dix sont des nombres uniformes.
• Les répunits en base Modèle:Mvar forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : Modèle:Math.
• Par conséquent<ref>Mais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité (lien en bas de page).</ref>, leur PGCD suit la règle de divisibilité forte : Modèle:Retrait</math> lorsque p est premier.}}

En base dix, on sait que R_n est premier pour onze valeurs de n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (Modèle:OEIS). Les six plus grands répunits en base 10 premiers connus en 2022 sont R_{49 081}, R_{86 453}, R_{109 297}, R_{270 343}, R_{5 794 777} et R_{8 177 207} ; ce sont des nombres premiers probables<ref name = "PlS526"/><ref>Modèle:Lien web.</ref>.

La liste des nombres premiers qui sont des repunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Tout répunit premier est trivialement premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base 10, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais ce fait n'est pas démontré dans sa généralité <ref name = "PlS526"/>.

Si Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers entre eux, au moins l'un des répunits Modèle:Math est un multiple de Modèle:Math.Modèle:Démonstration/début Raisonnons par l'absurde en supposant qu'aucun de ces Modèle:Math nombres n'est divisible par Modèle:Math. Alors (d'après le principe des tiroirs et puisqu'il n'y a que Modèle:Math [[Congruence sur les entiers|classes de congruence mod Modèle:Math]] non nulles) deux d'entre eux sont dans la même classe, c'est-à-dire qu'il existe des entiers Modèle:Math et Modèle:Math, avec Modèle:Math, tels que Modèle:Math divise Modèle:Math donc (d'après le lemme de Gauss) Modèle:Math divise Modèle:Math, ce qui contredit l'hypothèse initiale. Modèle:Démonstration/fin

Voir aussi

Articles connexes

• Conjecture de Feit-Thompson
• Reimerp
• Nombre de Demlo

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Les nombres brésiliens, s'écrivant avec des chiffres tous égaux, dans Quadrature 76