Nombre de Mersenne premier

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Le moine français Marin Mersenne (1588-1648)

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme Modèle:Math (souvent<ref name=":0">Modèle:MathWorld.</ref> noté Modèle:Var), où Modèle:Var est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle Marin Mersenne ; mais, près de Modèle:Unité auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits. Avant Mersenne, et même un certain temps après lui, la recherche des nombres de Mersenne premiers est intrinsèquement liée à celle des nombres parfaits.

Si le nombre de Mersenne Modèle:Math est premier, alors Modèle:Var est premier. Par exemple, les nombres de Mersenne Modèle:Math sont premiers, et leurs exposants Modèle:Math le sont bien aussi. Cette condition que Modèle:Var soit premier est nécessaire pour que le nombre de Mersenne Modèle:Math soit premier. Par exemple, Modèle:Math ne sont pas premiers, et les nombres de Mersenne Modèle:Math ne le sont effectivement pas. Mais cette condition n'est pas suffisante. Par exemple, Modèle:Math est premier, mais le nombre de Mersenne Modèle:Math ne l'est pas.

Il existe un test de primalité efficace pour les nombres de Mersenne, le test de primalité de Lucas-Lehmer ; de ce fait, les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne. Les nombres de Mersenne premiers sont pourtant rares : seulement Modèle:Math sont connus début 2022. On ne sait même pas s'il en existe une infinité.

La recherche de grands nombres de Mersenne premiers fait l'objet d'un projet de calcul collaboratif, le projet GIMPS.

Nombres de Mersenne et nombres parfaits

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ». Historiquement, c'est cette connexion qui a motivé l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le Modèle:Lien siècle av JCModèle:Vérification siècle, Euclide démontrait que si Modèle:Math est un nombre premier, alors Modèle:Math est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme. Par ailleurs, aucun nombre parfait impair n'est connu.

Propriétés des nombres de Mersenne

Propriété fondamentale des nombres de Mersenne

Soit Modèle:Math <math>\N^*</math> ; si Modèle:Var n'est pas premier, alors le Modèle:Var-ième nombre de Mersenne Modèle:Math n'est pas premier. En effet :

Les deux plus petits exemples avec indices composés sont :
Modèle:Math sont composés, et Modèle:Math sont bien composés.

Plus précisément :
Modèle:Math divise Modèle:Math, et Modèle:Math divise bien Modèle:Math.

Autrement dit (contraposée) :
Soit Modèle:Math <math>\N^*</math> ; si le Modèle:Var-ième nombre de Mersenne Modèle:Math est premier, alors Modèle:Var est premier<ref>De façon générale :
Soient Modèle:Math et Modèle:Math ; si Modèle:Math est premier, alors Modèle:Math et Modèle:Var est premier. En effet :

Les huit plus petits exemples sont :
Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) sont premiers, et Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) sont bien premiers.

La réciproque est fausse. En effet :
Soit Modèle:Math <math>\N^*</math> ; même si Modèle:Var est premier, le Modèle:Var-ième nombre de Mersenne Modèle:Math peut ne pas être premier.

Les trois plus petits contre-exemples sont :
Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) sont premiers, mais Modèle:Math (Modèle:OEIS2C) sont composés<ref name=":1">Modèle:Lien web</ref>.

Conséquences :
Pour trouver des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des Modèle:Var avec Modèle:Var premier, mais que ce n'est pas suffisant. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers Modèle:Var.

Autres propriétés des nombres de Mersenne

Exemple :
Modèle:Math.
Les six plus petits termes de cette suite de Lucas-Lehmer sont :
Modèle:Math (voir la Modèle:OEIS).
(Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math mais Modèle:Math est pair, et Modèle:Math est bien premier.)
Modèle:Math divise Modèle:Math divise Modèle:Math divise Modèle:Math, et Modèle:Math sont bien premiers.
Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math, et Modèle:Math sont bien composés<ref name=":1" />.
Exemples :
Pour Modèle:Math est premier Modèle:Math ; ni Modèle:Var ni Modèle:Var ne peut diminuer, donc ni Modèle:Var ni Modèle:Var ne peut augmenter ; donc il existe un unique couple Modèle:Math d'entiers Modèle:Math tel que Modèle:Math (à savoir Modèle:Math) ; et Modèle:Math est bien premier.
Pour Modèle:Math est premier Modèle:Math est impair et Modèle:Math est pair, donc Modèle:Var doit être impair ; Modèle:Math ne sont pas des carrés, et Modèle:Math ; donc il n'existe aucun couple Modèle:Math d'entiers Modèle:Math tel que Modèle:Math ; et Modèle:Math n'est effectivement pas premier.
(Bas Jansen<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} B. Jansen, On Mersenne primes of the form x2 + d·y2 (2002), thèse.</ref> a étudié Modèle:Math pour Modèle:Var compris entre Modèle:Math et Modèle:Math.)
Exemples :
Modèle:Math est premier, Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math, et Modèle:Math n'est effectivement pas aussi premier.
Modèle:Math est premier, Modèle:Math divise Modèle:Math, et Modèle:Math est effectivement aussi premier.

Historique

Historique des outils théoriques

Marin Mersenne, moine de l'ordre des Minimes au début du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle, est l'auteur de la proposition : si Modèle:Var est premier, alors Modèle:Var aussi ; Modèle:Douteux,<ref>Voir cependant Modèle:Dickson1, vol. 1, Modèle:P., note 59.</ref>.

En 1732, Euler rappelle que la réciproque est fausse : Modèle:Var peut être composé alors que Modèle:Var est premier. Il donne le plus petit contre-exemple : 11 est premier mais Modèle:Math ne l'est pas<ref name=E26>E26, informations sur la publication.</ref>; il mentionne que c'est aussi le cas pour Modèle:Math, et Modèle:Math<ref name=E26/>.

En 1878, Édouard Lucas développe une méthode pour tester si un nombre de Mersenne Modèle:Var (avec Modèle:Var premier) est premier. Dans les années 1930, Derrick Lehmer l'améliore. Le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne est exceptionnellement simple comparativement à la taille des nombres considérés. Grâce à ce test très rapide, depuis longtemps les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.

Historique des nombres de Mersenne premiers découverts

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne sont connus dès l'Antiquité. Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, Ibn Fallus donne une liste de nombres parfaits dans un commentaire de l'introduction à l'arithmétique de Nicomaque. On y trouve ceux correspondant aux cinquième, sixième, et septième nombres de Mersenne. Mais il ne fournit aucun calcul et sa liste comporte des erreurs, qui peuvent laisser penser qu'il s'est appuyé sur des hypothèses fausses ou insuffisantes, et n'a pas vérifié la primalité de ces nombres de Mersenne<ref>Modèle:Article, p. 349-350.</ref>. On trouve le cinquième (Modèle:Math) dans un manuscrit anonyme daté de 1456 ou 1461. Les deux suivants (Modèle:Math et Modèle:Math) sont donnés par Pietro Cataldi en 1588. Au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, Marin Mersenne fournit une liste des nombres premiers « de Mersenne » jusqu’à l'exposant 257, qui se révélera fausse : elle inclut par erreur 67 et 257, et omet 61, 89, et 107<ref>Modèle:Article.</ref>.

En 1750, Euler vérifie que Modèle:Math est premier. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique), Modèle:Math, est trouvé par Lucas en 1876 ; puis Modèle:Math est démontré premier par Ivan Pervouchine en 1883. Encore deux autres sont trouvés au début du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle par Modèle:Lien en 1911 et en 1914.

La recherche des nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'utilisation des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen a lieu à 22 heures le Modèle:Date par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson.

C'est le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis Modèle:Math ans. Le suivant est découvert moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouve trois de plus dans les mois suivants.

En décembre 2018, Modèle:Math nombres premiers de Mersenne sont connus, le plus grand étant Modèle:Var82 589 933, qui est aussi à la même date le plus grand nombre premier connu<ref name=plusgrand>Modèle:Lien web.</ref>. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il est découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).

Liste des nombres de Mersenne premiers connus

On ne sait pas si l'ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini ou infini (mais on conjecture qu’il est infini). En décembre 2018, Modèle:Math nombres de Mersenne premiers étaient connus<ref name="Note"/> (suite Modèle:OEIS2C pour Modèle:Var, et suite Modèle:OEIS2C pour Modèle:Var).

Historiquement, ils ne furent pas toujours découverts par ordre croissant. Par exemple : en 1983 fut trouvé le Modèle:30e, Modèle:Var132 049 ; en 1988 fut trouvé le Modèle:29e, Modèle:Var110 503.

Liste des nombres premiers de Mersenne connus<ref>Modèle:Lien web.</ref>
Rang Modèle:Var Modèle:Var Écriture de Modèle:Var
en base 10 		Nombre
de chiffres
en base 10 		Date de découverte Découvreur(s)
1 2 Modèle:Var2 3 1 Antiquité remarqué
(en tant que nombre premier)
par les mathématiciens grecs
2 3 Modèle:Var3 7 1
3 5 Modèle:Var5 31 2
4 7 Modèle:Var7 127 3
5 13 Modèle:Var13 8 191 4 Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle manuscrit anonyme (1456 ou 1461)
6 17 Modèle:Var17 131 071 6 1588 Cataldi
7 19 Modèle:Var19 524 287 6 1588 Cataldi
8 31 Modèle:Var31 2 147 483 647 10 1750 Euler
9 61 Modèle:Var61 2 305 843 009 213 693 951 19 1883 Pervouchine
10 89 Modèle:Var89 618970019…449562111 27 1911 Modèle:Lien
11 107 M107 162259276…010288127 33 1914 Powers<ref>Modèle:Lien web.</ref>
12 127 M127 170141183…884105727 39 1876 Lucas
13 521 M521 686479766…115057151 157 30 janvier 1952 Robinson (SWAC)
14 607 M607 531137992…031728127 183 30 janvier 1952 Robinson (SWAC)
15 1 279 M1279 104079321…168729087 386 25 juin 1952 Robinson (SWAC)
16 2 203 M2203 147597991…697771007 664 7 octobre 1952 Robinson (SWAC)
17 2 281 M2281 446087557…132836351 687 9 octobre 1952 Robinson (SWAC)
18 3 217 M3217 259117086…909315071 969 8 septembre 1957 Riesel (Modèle:Lien)
19 4 253 M4253 190797007…350484991 1 281 3 novembre 1961 Hurwitz (IBM)
20 4 423 M4423 285542542…608580607 1 332 3 novembre 1961 Hurwitz (IBM)
21 9 689 M9689 478220278…225754111 2 917 11 mai 1963 Modèle:Lien (ILLIAC II)
22 9 941 M9941 346088282…789463551 2 993 16 mai 1963 Gillies (ILLIAC II)
23 11 213 M11213 281411201…696392191 3 376 2 juin 1963 Gillies (ILLIAC II)
24 19 937 M19937 431542479…968041471 6 002 4 mars 1971 Tuckerman (IBM)
25 21 701 M21701 448679166…511882751 6 533 30 octobre 1978 Modèle:Lien et Nickel (CDC)
26 23 209 M23209 402874115…779264511 6 987 9 février 1979 Noll (CDC)
27 44 497 M44497 854509824…011228671 13 395 8 avril 1979 Modèle:Lien et Modèle:Lien
(Cray Research)
28 86 243 M86243 536927995…433438207 25 962 25 septembre 1982 Slowinski (Cray)
29 110 503 M110503 521928313…465515007 33 265 28 janvier 1988 Colquitt et Welsh (NEC)
30 132 049 M132049 512740276…730061311 39 751 19 septembre 1983 Slowinski (Cray)
31 216 091 M216091 746093103…815528447 65 050 Modèle:1er septembre 1985 Slowinski (Cray)
32 756 839 M756839 174135906…544677887 227 832 19 février 1992 Slowinski et Gage
33 859 433 M859433 129498125…500142591 258 716 10 janvier 1994 Slowinski et Gage
34 1 257 787 M1257787 412245773…089366527 378 632 3 septembre 1996 Slowinski et Gage
35 1 398 269 M1398269 814717564…451315711 420 921 13 novembre 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36 2 976 221 M2976221 623340076…729201151 895 932 24 août 1997 GIMPS / Gordon Spence
37 3 021 377 M3021377 127411683…024694271 909 526 27 janvier 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38 6 972 593 M6972593 437075744…924193791 2 098 960 Modèle:1er juin 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
39 13 466 917 M13466917 924947738…256259071 4 053 946 14 novembre 2001 GIMPS / Michael Cameron
40<ref>Prouvé le 11 juillet 2010 comme étant bien le Modèle:40e, c'est-à-dire qu'il n'y pas d'autre nombre de Mersenne entre le Modèle:39e et celui-ci — voir Modèle:Lien web.</ref> 20 996 011 M20996011 125976895…855682047 6 320 430 17 novembre 2003 GIMPS / Michael Shafer
41<ref>Prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le Modèle:41e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 24 036 583 M24036583 299410429…733969407 7 235 733 15 mai 2004 GIMPS / Josh Findley
42<ref>Prouvé le 20 décembre 2012 comme étant bien le Modèle:42e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 25 964 951 M25964951 122164630…577077247 7 816 230 18 février 2005<ref>Modèle:Lien web.</ref> GIMPS / Martin Nowak
43<ref>Prouvé le 23 février 2014 comme étant bien le Modèle:43e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 30 402 457 M30402457 315416475…652943871 9 152 052 15 décembre 2005 GIMPS / Cooper et Boone
44<ref>Prouvé le 8 novembre 2014 comme étant bien le Modèle:44e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 32 582 657 M32582657 124575026…053967871 9 808 358 4 septembre 2006 GIMPS / Cooper et Boone
45<ref>Prouvé le 2 septembre 2016 comme étant bien le Modèle:45e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 37 156 667 M37156667 202254405…308220927 11 185 272 6 septembre 2008 GIMPS / Elvenich
46<ref>Prouvé le 22 février 2018 comme étant bien le Modèle:46e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 42 643 801 M42643801 169873516…562314751 12 837 064 12 avril 2009 GIMPS / Odd Magnar Strindmo
47<ref>Prouvé le 8 avril 2018 comme étant bien le Modèle:47e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 43 112 609 M43112609 316470269…697152511 12 978 189 23 août 2008 GIMPS / Smith
48<ref>Prouvé le 6 octobre 2021 comme étant bien le Modèle:48e. Voir Modèle:Harvsp.</ref> 57 885 161 M57885161 581887266…724285951 17 425 170 25 janvier 2013 GIMPS / Cooper
49 ?<ref name="Note">On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres de Mersenne premiers, entre le Modèle:48e (M57 885 161) et le Modèle:49e (M74 207 281). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Néanmoins, tous les exposants inférieurs au Modèle:50e ont été testés au moins une fois ; il est donc probable que le classement est exact. Notons que le Modèle:29e nombre premier de Mersenne fut découvert après le Modèle:30e et le Modèle:31e, de même que M43 112 609 fut découvert quinze jours avant M37 156 667, plus petit. De même, le Modèle:46e (M42 643 801) a été découvert neuf mois après le Modèle:47e (M43 112 609).</ref> 74 207 281 M74207281 300376418…086436351 22 338 618 7 janvier 2016 GIMPS / Cooper
50 ?<ref name=plusgrand/> 77 232 917 M77232917 467333183...762179071 23 249 425 3 janvier 2018 GIMPS / Jonathan Pace
51 ?<ref>https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933</ref> 82 589 933 M82589933 148894445...217902591 24 862 048 7 décembre 2018 GIMPS / Patrick Laroche

Liste de nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers

Les neuf plus petits nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers (venant s'intercaler entre les Modèle:1er et Modèle:9e nombres de Mersenne premiers, connus à la fin du Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle) sont :

Modèle:Numéro avec majuscule Modèle:Var
(Modèle:OEIS) 		Modèle:Var Écriture de Modèle:Var
en base 10
(Modèle:OEIS) 		Nombre
de chiffres
en base 10 		Décomposition<ref name=":1" />
1 11 Modèle:Var11 2 047 4 23 × 89
2 23 Modèle:Var23 8 388 607 7 47 × 178 481
3 29 Modèle:Var29 536 870 911 9 233 × 1 103 × 2 089
4 37 Modèle:Var37 137 438 953 471 12 223 × 616 318 177
5 41 Modèle:Var41 2 199 023 255 551 13 13 367 × 164 511 353
6 43 Modèle:Var43 8 796 093 022 207 13 431 × 9 719 × 2 099 863
7 47 Modèle:Var47 140 737 488 355 327 15 2 351 × 4 513 × 13 264 529
8 53 Modèle:Var53 9 007 199 254 740 991 16 6 361 × 69 431 × 20 394 401
9 59 Modèle:Var59 576 460 752 303 423 487 18 179 951 × 3 203 431 780 337

Le Modèle:10e nombre de Mersenne non premier mais d'indice premier, Modèle:Math, figurait dans la liste originelle de Mersenne ; mais Lucas montra en 1876 que ce nombre n'est pas premier, sans toutefois pouvoir exhiber ses facteurs. La factorisation Modèle:Math fut déterminée par Frank Nelson Cole en 1903<ref>Modèle:Article</ref>.

Généralisations

Suite de Lucas

Les nombres de Mersenne (premiers ou non) sont les répunits en base 2. La suite <math>\left(\frac{b^n-1}{b-1}\right)_{n\in\N^*}</math> des répunits en base b est la suite de Lucas U(b + 1, b). Or toute suite de Lucas U(P, Q) avec P et Q premiers entre eux est à divisibilité forte. Par le même raisonnement que pour la suite des nombres de Mersenne Modèle:Supra, une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que le n-ième terme d'une telle suite soit premier est donc que n le soit également.

Nombres premiers de Solinas

Les nombres premiers de Solinas<ref name=Solinas>Modèle:Lien web.</ref> sont les nombres premiers de la forme p = f(2k) où f est un polynôme unitaire à coefficients entiers<ref>La suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS, créée en septembre 2009 à la suite d'une interprétation hâtive (sur Wikipédia en anglais) de l'article de Solinas, donne, sous le nom de Modèle:Citation étrangère, une liste de nombres premiers de la forme 2a ± 2b ± 1, où 0 < b < a. Cette définition est reprise dans des publications ultérieures.</ref> de faible « poids de réduction modulaire » (une condition technique destinée à ce que les calculs de réduction modulo p soient rapides et qui, pour simplifier, est parfois remplacée par : les coefficients non nuls de f sont peu nombreux et valent ±1<ref>Modèle:Chapitre.</ref>,<ref>Modèle:Lien web.</ref>,<ref>Ou encore : Modèle:Citation étrangère, Modèle:Chapitre.</ref>). Solinas<ref name=Solinas/> donne une série d'exemples, dont le premier est f(t) = t – 1, de « poids » 1 (qui correspond aux nombres de Mersenne) et le dernier est f(t) = t4 – tModèle:3 + t2 + 1, de « poids » 4, mais qui inclut aussi f(t) = td – td–1 + td–2 – … + (–1)d, de « poids » 3.

Nombres premiers dont l'écriture n'utilise pas un chiffre donné

Modèle:Pertinence section Puisque les nombres de Mersenne sont les répunits en base 2, leur écriture binaire ne comporte aucun 0. De manière analogue, on peut étudier dans les bases supérieures les nombres premiers dont l'écriture est dépourvue d'un certain chiffre<ref>Modèle:YouTube.</ref>. Il a été prouvé en 2019 qu'il existe une infinité de nombres premiers dont le développement en base 10 ne comporte pas l'un quelconque des chiffres de 0 à 9<ref>Modèle:Article.</ref>.

Répartition des nombres de Mersenne premiers

Les nombres de Mersenne premiers sont rares. On ne sait pas s'il en existe une infinité. Une conjecture est que le nombre de ceux qui sont inférieurs à un réel Modèle:Var donné est asymptotiquement proportionnel à Modèle:Math, soit une croissance très lente et de plus en plus lente<ref name="PrimePages">Modèle:Lien web</ref>. Plus précisément, selon une conjecture due à Lenstra et Pomerance, puis reformulée et complétée par Wagstaff, il y aurait asymptotiquement Modèle:Math nombres de Mersenne premiers inférieurs à Modèle:Var<ref name="PrimePages" />.

Si la conjecture était réalisée, le nombre Modèle:Math d'exposants Modèle:Var inférieurs à Modèle:Var tels que Modèle:Math est premier serait asymptotiquement proportionnel à Modèle:Math. Une estimation fondée sur les Modèle:Math nombres premiers connus en mars 2022 donne Modèle:Math<ref name=":0" />.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Modèle:Palette Modèle:Portail

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